Integral mit Schnittpunkt

Question

ich verstehe bei folgender Aufgabe einfach nicht wie ich herangehen muss aber muss sie morgen Fehlerfrei Vortragen. Kann mir vielleicht jemand helfen?

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)=-x³+12x sowie der Höhepunkt H(2|16) Die Gerade G verläuft durch den Punkt H und besitzt eine Negative Steigung. Der Graph von f, die Y-Achse und die Gerade g schließen für 0<=x<=2 eine Fläche mit den Inhalt 20 ein. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Gerade g mit der y-Achse.

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Zunächst mache ich eine Skizze:

~plot~ -x^3+12x;{2|16};[[-2|6|-2|27]];(-4)(x-2)+16 ~plot~

Gesucht ist die Fläche zwischen der Y-Achse, über dem Polynom (blau) und unter der roten Geraden. Also im Intervall von 0 bis 2. Die Gerade hat in der Punkt-Steigungs-Form die Funktion $$g(x) = m (x-2) + 16, \quad m \lt 0$$Um die Fläche zu bestimmen, integriere die Differenz \(g(x)-f(x)\). Zusammen mit der Bedingung, dass das Ergebnis 20 sein muss, folgt daraus:$$\begin{aligned}20 &= \int_0^2 g(x)-f(x) \,\text dx  \\ &= \int_0^2 m(x-2) + 16 + x^3 - 12x \, \text dx \\ &= \left. \frac m2 x^2 -2mx + 16x + \frac 14x^4 - 6x^2 \right|_0^2  \\ &= 2m - 4m + 32 + 4 - 24 \\ &= 12 - 2m \\ &\implies m = -4\end{aligned}$$Falls Du noch Fagen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Answer 2

Hallo

Gerade mit g(x) =-mx+b  durch H legen,  b bestimmen in Abhängigkeit von m.

dann g(x)-f(x) von 0 bis 2 integrieren Ergebnis =20 daraus m

eine Skizze zu der Aufgabe hätte dir die Frage sicher gespart.

Gruß lul

Answer 3

$$g(x)=16+a-a/2x$$

$$f(x)=-x^3+12x$$

$$h(x)=g(x)-f(x)$$

$$h(x)=x^3-(12+a/2)x+16+a$$

$$H(x)=1/4x^4-(6+a/4)x^2+(16+a)x$$

$$A=4-24-a+32+2a=20$$

$$12+a=20$$

$$a=8$$

$$g(x)=24-4x$$