Finde mit Hilfe der Laplace-Transformation eine Funktion y, die die angegebenen Eigenschaften erfüllt

Question

Aufgabe:

Finde mit Hilfe der Laplace-Transformation eine Funktion y, die die angegebenen Eigenschaften erfüllt:

y''' - 7y' - 6y = -12e^2t,    y(0) = 3,     y'(0) = 7,     y''(0) = 5

Answer 1

Hallo,

y=F(s)

y'= - y(0) +s F(s)=  -3 +s F(s)

y'''= -s^2 y(0)- s y'(0) -y''(0) +s^3 F(s)

y'''= -3 s^2 -7s -5 +s^3 F(s)

 -3 s^2 -7s -5 +s^3 F(s) -7(-3 +s F(s)) -6 F(s) = (-12)/(s-2)

-3 s^2 -7s -5 +s^3 F(s)  +21 -7 s F(s)  -6 F(s) = (-12)/(s-2)

-3 s^2 -7s  +16+ F(s)(s^3  -7 s -6)= (-12)/(s-2)

-<dann nach F(s) umstellen:

F(s)=(3s^3+s^2-30s +30)/((s-2)(s^3-7s-6))

(3s^3+s^2-30s +30)/((s-2)(s+1)(s+2)(s-3)) = A/(s-2) +B/(s+1) +C/(s+2) +D/(s-3)

und Partialbruchzerlegung tätigen

zum Schluss aus der Tabelle die Zeitfunktion ablesen.

Lösung:

y(t)=e^(-2t) (e^(5t)+ e^(4t) +4 e^t -3)