Aloha :)
Die Messunsicherheit \(\varepsilon\) ist Normalverteilt mit \(\mu_\varepsilon=0\) und \(\sigma_\varepsilon=0,09\).
Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht eine Messung um mehr als 0;1C (nach oben
oder nach unten) von der wahren Körpertemperatur ab?
$$P(\varepsilon>0,1\lor\varepsilon<-0,1)=P(\varepsilon>0,1)+P(\varepsilon<-0,1)=1-P(\varepsilon\le0,1)+P(\varepsilon<-0,1)$$$$=1-\phi\left(\frac{0,1-0}{0,09}\right)+\phi\left(\frac{(-0,1)-0}{0,09}\right)=1-\phi\left(\frac{10}{9}\right)+\phi\left(-\frac{10}{9}\right)$$Wegen der Symmetrie \(\phi(x)+\phi(-x)=1\) der Standardnormalverteilung gilt weiter:$$=1-\phi\left(\frac{10}{9}\right)+\left[1-\phi\left(\frac{10}{9}\right)\right]=2-2\,\phi\left(\frac{10}{9}\right)\approx0,266521\approx26,65\%$$
Wenn Sie an einem Patienten stattdessen dreimal messen, mit welcher Wahrscheinlichkeit
weicht dann der Mittelwert der drei Messwerte um mehr als 0;1C von der
wahren Körpertemperatur ab?
Wir nehmen an, dass das Fieberthermometer kein Gedächtnis hat und so jede Messung unabhängig von allen anderen ist. Da sich die Erwartungswerte und die Varianzen von unabhängigen Normalverteilungen addieren folgt für den Mittelwert \(X=(x_1+x_2+x_3)/3\) der 3 Messungen:
$$\mu_X=\left<\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\right>=\frac{\mu_\varepsilon+\mu_\varepsilon+\mu_\varepsilon}{3}=0$$$$\sigma_X^2=V\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\right)=\frac{1}{9}\,V(x_1+x_2+x_3)=\frac{1}{9}\left(V(x_1)+V(x_2)+V(x_3)\right)$$$$\phantom{\sigma_X^2}=\frac{1}{9}\cdot3\cdot0,09^2=0,0027$$Die Rechnung von Teil (a) können wir übernehmen, müssen aber den neuen Erwartungswert (der gleich dem alten ist) und die neue Standardabweichung \(\sigma_X=\sqrt{0,0027}\) einsetzen:$$P_X(\varepsilon>0,1\lor\varepsilon<-0,1)=2-2\phi\left(\frac{0,1}{\sqrt{0,0027}}\right)\approx0,054292\approx5,43\%$$
