Äquivalenzrelation, partielle Ordnung? Woran erkennt man, was vorliegt? R:= {(n,m)∈No | |n-m| ist gerade Zahl}

Question

Aufgabe:

R = {(n,m) natürlich oder 0| |n-m| ist gerade Zahl}

\( \mathcal{R}=\left\{(n, m) \in \mathbb{N}_{0}|\quad| n-m \mid\right. \) ist eine gerade Zahl \( \} \)

Woran genau erkenne ich eigentlich, ob es sich um eine partielle Ordnung oder eine Äquivalenzrelation handelt?

Falls es also eine Äquivalenzrelation ist, sollen die Äquivalenzklassen bestimmt werden.

(Ich nehme als mal an, dass es eine äquivalenzrelation ist, denn sonst wäre die aufgabe schnell beendet.)

Comments

Prüfe zunächst ob die gegebene Relation die Defintion einer Äquivalenzrelation erfüllt.

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okay, die ä-relation beinhaltet ja
reflexiv
symmetrisch &

transitivität....


wie wende ich das an???

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Bsp. Reflexivität:

Das Paar (n,n) ist für alle natürlichen Zahlen ein Element der Relation, da |n-n|=0 eine gerade Zahl ist.

Answer 1

R = {(n,m) ∈ N_o| |n-m| ist gerade Zahl}

reflexiv:

nRn stimmt für alle n. |n-n|=0  ist  gerade

symmetrisch

nRm gdw. mRn. stimmt, denn |n-m| = |m-n| entweder sind beide gerade oder ungerade.

transitiv:

nRm und mRk ==> nRk. stimmt, denn

nRm heisst beide gerade oder beide ungerade.

1. Fall beide gerade: wegen mRk muss auch k gerade sein und nRk stimmt.

2. Fall beide ungerade: wegen mRk muss auch k ungerade sein und nRk stimmt.

Fazit: Es liegt eine Äquivalenzrelation vor.

Die Äquivalenzklassen sind

K1={1,3,5,7,…} alle ungeraden Elemente von No.

K2= {0,2,4,6,…} alle geraden Elemente von No.

R ist keine Halbordung (keine partielle Ordnung, da nicht 'antisymmetrisch')

D.h. aus nRm und mRn folgt nicht automatisch n=m.

Bsp. 2R4 und 4R2 aber 2≠4.

Begriffe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation

Comments

sehr toll! kennt vielleicht jemand eine seite, wo das verfahren genau erläutert wird? (verständlich^^)