Lineare Algebra, Menge, Körperaxiome

Question

Zu einer Menge K aus drei Elementen K = {o, p, q} sind zwei innere Verknüpfungen "plus"  und  "mal" gemäß folgender Tabellen definiert: 

mal	o	p	q
o	o	o	o
p	o	q	p
q	o	p	q

 

plus	o	p	q
o	o	p	q
p	p	q	o
q	q	o	p

1. Überprüfen Sie, dass die obigen beiden Verknüpfungen die Körperaxiome K2, K4, K6 und K8 erfüllen. 

2. Welches Element ist das zu p inverse Element?

 

 

Comments

Was sind denn K2,K4,K6 und K8?

(Es gibt keine Konvention in der Benennung der Körperaxiome )

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K2 = Nullelement  a+0=a

K4 = Kommutativgesetz  a+b = b+a

K6 = Einselement     a•1 = 1
K8 = Kommutativgesetz  a•b = b•a

Answer 1

K2:

Das Nullelement (neutrale Element) bzgl. der Verknüpfung plus ist das Element o, denn es gilt laut der Tafel:

o plus o = o
o plus p = p
o plus q = q
p plus o = p
q plus o = q

 

K4 und K8:

Dass beide Verknüpfungen kommutativ sind, erkennt man an der Symmetrie der Verknüpfungstafeln.

 

K6:

Hier hast du dich vertan. Statt a * 1 = 1 muss es heißen a * 1 = a

Die Verknüpfung mit dem Einselement (neutrales Element) bildet jedes Element auf sich selbst ab, nicht auf das Einselement.

Das Einselement bzgl. der Verknüpfung mal ist das Element q, denn es gilt laut der Tafel:

q mal o = o,
q mal p = p,
q mal q = q,
o mal q = o und
p mal q = p

Comments

Danke, für deine ausführliche Antwort. Und wie bestimme ich das inverse Element?

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DAS inverse Element gibt es ja in der Regel nicht, sondern im allgemeinen haben verschiedene Elemente auch verschiedene Inverse.

Vorliegend wird das Inverse p ^-1 zu p gesucht. p ^-1 ist genau dann Inverses von p bzgl. einer Verknüpfung, wenn di Verknüpfung von p ^-1 und p das neutrale Element bzgl. dieser Verknüpfung ergibt, wenn also im vorliegenden Falle bzgl. der Multiplikation gilt: 

p ^-1 mal p = q

Schaut man in die Verknüpfungstafel so sieht man, dass dies für p ^-1 = p gilt.

Das Inverse von p bzgl. der Multiplikation ist also p selbst.

 

Bzgl. der Addition muss gelten

p ^-1 plus p = o

Schaut man in die Verknüpfungstafel für mal, so findet man:

p ^-1 = q