Ungleichung lösen: 1/x + 1/y > 4/9 · (2/x + 3/(x+y))

Question

Folgende Ungleichung:

\( \frac{1}{x} \) +\( \frac{1}{y} \) > \( \frac{4}{9} \)(\( \frac{2}{x} \) +\( \frac{3}{x+y} \) )

Wobei gilt, dass x und y positive Zahlen sind und die Gültigkeit dieser Ungleichung zu beweisen ist.

Habe ich nun schon einige Ansätze gehabt und ausprobiert, die allerdings alle in eine Sackgasse geführt haben.

Über Antworten, hilfreiche Tipps und Erklärungen dazu würde ich mich sehr freuen!

Answer 1

Multipliziere die ganze Ungleichung mit dem positiven Term 9xy(x+y)

Das gibt

9xy+9y^2 + 9x^2 + 9xy > 8xy + 8y^2 + 12xy

<=>  y^2 - 2xy + x^2 + 8x^2 > 0

<=>  (y-x)^2 + 8x^2 > 0

Und die Summe zweier Quadrate von denen ja zumindest 8x^2 positiv ist,

ist dann auch positiv.

Also hast du durch Äquivalenzumformungen deine Ungleichung

auf eine gebracht die immer stimmt.    q.e.d.

Answer 2

Hallo

wie immer bei Bruchungleichungen mit dem Hauptnenner also 9xy*(x+y) multiplizieren

dann alles auf eine Seite,  die dann >0 , vergleiche dann mit (3x-y)^2≥0

Gruß lul

Answer 3

$$ \frac{1}{x} +\frac{1}{y}  > \frac{4}{9} (\frac{2}{x}  + \frac{3}{x+y} )$$$$9(x+y)^2> 4(2y(x+y)+3xy)$$$$9x^2+18xy+9y^2>8y^2+20xy$$$$9x^2-2xy+y^2>0$$$$8x^2+(x-y)^2>0$$

$$x;y∈ℝ$$

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Vielen Dank auch an dich/Sie!