Wie zeige ich, dass für f: A -> A a) f injektiv -> f surjektiv/ f surjektiv -> f injektiv folgt?

Question

Sei A eine nichtleere Menge, f : A → A eine Abbildung. Zeigen oder widerlegen Sie:

(a) f injektiv =⇒ f surjektiv. (b) f surjektiv =⇒ f injektiv.
Unterscheiden Sie jeweils die Fälle A endlich bzw. A unendlich.

Mein Ansatz war für (a) erstmal annehmen f nicht injektiv aber surjektiv und zu widerspruch führen, dann f injektiv aber nicht surjektiv und zu widerspruch führen und andersherum bei der (b). Verstehe allerdings nicht, wie ich endlich/unendliche Menge dabei einbinde.

Vielen Dank!

Answer 1

a)  f : ℕ → ℕ mit f(x)=x+1 ist injektiv, aber nicht surjektiv.

Bei endlichen Mengen ist es aber wahr, dass     f injektiv ==>  f surjektiv.

Beweist man vielleicht mit Induktion über die Anzahl der Elemente.

b) für endliche Mengen richtig aber für unendliche nicht

z.B. mit f : ℝ+ →  ℝ+ mit f(x) = 2x^3-9x^2+12x

sieht so aus

~plot~ 2x^3-9x^2+12x;[[-1|4|-1|10]] ~plot~