Zeige, dass die Rechts-Shift-Abbildung auf dem Vektorraum der reellwertigen Folgen injektiv aber nicht surjektiv ist.

Question

Aufgabe:

V = Menge aller reellwertigen Folgen.

(V,+,*) ist ein Vektorraum.

$$R:\: V\rightarrow V \text{ mit } (a_n),\: n \in \mathbb{N} \mapsto \left(0,\:a_1,\:a_2,\:a_3,\dots\right)$$ (Rechts-Shift-Operator)

Die Aufgabe ist zu zeigen, dass R zwar injektiv, aber nicht surjektiv ist.

Problem/Ansatz:

Für injektiv müsste man ja zeigen, dass nur die Nullfolge auf 0 abbildet. Dies ergibt in dem Fall natürlich Sinn, da man, wenn man links keine Nullfolge hat, rechts auch keine Nullfolge entsteht. Die Frage ist: Wie beweist man sowas? Denn das ist ja nur eine Begründung.

Und zur Surjektivität habe ich ehrlicher Weise keine Ahnung, könnte man da als Gegenbeispiel die Folge 1/n nehmen? Denn das würde ja wegen der 0 in der Abbildung nicht gehen oder?

Answer 1

dass nur die die Nullfolge auf 0 abbildet.

Das reicht nicht für Injektivität.

Das reicht aber bei linearen Abbildungen für Injektivität.

Wenn du so argumentierst, dann müsstest du deshalb noch zeigen, dass \(R\) linear ist.

wie beweist man sowas?

Indem man die Kontraposition beweist: wenn \(\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) nicht die Nullfolge ist, dann ist \(R\left(\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\right)\) auch nicht die Nullfolge, weil es in \(R\left(\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\right)\) ein Folgenglied \(a_i\) mit \(a_i\neq 0\) gibt.

könnte man da als Gegenbeispiel die Folge 1/n nehmen?

Ja.

Ich würde zwar die Folge \(\left(1\right)_{\mathbb{n\in\mathbb{N}}}\) nehmen, aber deine ist natürlich auch geeignet.

Comments

Ahso das hab ich bei einer anderen teilaufgabe schon getan. Also ich weiß schon, dass R linear ist