(-3i)^3 +z^3=0 <=> z^3 = - (-3i)^3
a) berechne - ( -3i )^3 = - (-27) * i^3 = 27 * i^3 = -27
Also z = 3. Wurzel aus -27. In C gibt es ja immer 3 verschiedene 3. Wurzeln.
Ansatz für Eulerdarstellung ( a+bi) ^3 = - 27
<=> a^3 + 3a^2 *b* i - 3ab^2 - b^3 * i = -27 = -27 + 0*i
==> a^3 - 3ab^2 = -27 und 3a^2 *b - b^3 = 0
==> a^3 - 3ab^2 = -27 und b * ( 3a^2 - b^2 ) = 0
==> a^3 - 3ab^2 = -27 und b * ( a√3 - b )* ( a√3 + b ) = 0 .
Für den 2. Teil gibt es (Satz vom Nullprodukt)
also 3 Fälle damit der stimmt:
1. Fall b=0 dann liefert der 1. Teil a^3 = -27 ==> a = -3
also 1. Lösung z = -3+0*i = -3
2. Fall a√3 - b = 0 ==> b = a√3.
Dann liefert der 1. Teil a^3 - 3a*3a^2 = -27
-8a^3 = -27
a^3 = 27/8
a = 3/2 und damit b= (3/2)√3
also 2. Lösung z = 3/2 + (3/2)√3 * i = (3+3√3 i) / 2
Der 3. Fall ganz ähnlich ergibt z = (-3+3√3 i) / 2
Das ist die Bestimmung der Lösungen in der Eulerdarstellung.
Bei der Polardarstellung nimmst du einfach die Formel für die 3. Wurzeln
und stellst die -27 passend dar -27 = 27 * e^(-π*i) . Das wäre dann r*e^(φi)
Dann ist die Formel 3. Wurzeln werden gegeben durch 3.Wurzel(r) * e^(φ+k*2π)*i/3) für k=0,1,2.
Das gibt also z1 = 3*e^(-π *i/3) und
z2 = 3*e^((-π+2π) *i/3) = 3*e^(π *i/3)
z3 = 3*e^((-π+4π) *i/3) = 3*e^(3π *i/3)
