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Aufgabe:(-3i)3 +z3=0


Problem/Ansatz:Bestimmen die Lösungen z∈ der Gleichung in (a) Euler und (b) Polar darstellung.

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z1= - 3√3/2 - 3i/2

z2=3√3/2 - 3i/2

z3=3i.       

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  (-3i)^3 +z^3=0  <=>    z^3 =  - (-3i)^3

a)  berechne - ( -3i )^3 = - (-27) * i^3 = 27 * i^3 = -27

Also z = 3. Wurzel aus -27. In C gibt es ja immer 3 verschiedene 3. Wurzeln.

Ansatz für Eulerdarstellung  ( a+bi) ^3 = - 27

                   <=>  a^3 + 3a^2 *b* i - 3ab^2 - b^3 * i =  -27   = -27 + 0*i

==>   a^3 - 3ab^2  = -27   und   3a^2 *b - b^3  = 0

==>  a^3 - 3ab^2  = -27  und b * ( 3a^2  - b^2 ) = 0    

==>  a^3 - 3ab^2  = -27  und b * ( a√3    - b )* ( a√3    +  b ) = 0  .

Für den 2. Teil gibt es (Satz vom Nullprodukt)
                   also 3 Fälle damit der stimmt:

1. Fall  b=0 dann liefert der 1. Teil a^3 = -27 ==>  a = -3 
                                 also 1. Lösung z = -3+0*i = -3

2. Fall  a√3    - b = 0   ==>   b =  a√3.
          Dann liefert der 1. Teil a^3  - 3a*3a^2 = -27
                                                -8a^3 = -27 
                                                   a^3 = 27/8 
                                                    a = 3/2    und damit b= (3/2)√3 
                       also 2. Lösung z =  3/2   + (3/2)√3 * i =   (3+3√3 i) / 2

Der 3. Fall ganz ähnlich ergibt z =   (-3+3√3 i) / 2

Das ist die Bestimmung der Lösungen in der Eulerdarstellung.

Bei der Polardarstellung nimmst du einfach die Formel für die 3. Wurzeln

und stellst die -27 passend dar   -27  = 27 * e^(-π*i) . Das wäre dann r*e^(φi)

Dann ist die Formel  3. Wurzeln werden gegeben durch 3.Wurzel(r) * e^(φ+k*2π)*i/3) für k=0,1,2.

Das gibt also  z1 = 3*e^(-π *i/3)   und

               z2 =  3*e^((-π+2π) *i/3) = 3*e^(π *i/3)

               z3 =   3*e^((-π+4π) *i/3) = 3*e^(3π *i/3)


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