Zeige : Die Strecken zerlegen die Diagonale in drei gleiche Teile.

Question

Aufgabe:

Zeige : Die Strecken zerlegen die Diagonale in drei gleiche Teile.

Problem/Ansatz:

In einem Parallelogramm \( A B C D \) wird die Ecke \( C \) mit den Seitenmittelpunkten \( M_{A B} \) und \( M_{A D} \) verbunden. Zeige: Die Strecken \( \overline{C M_{A B}} \) und \( \overline{C M_{A D}} \) zerlegen die Diagonale \( \overline{B D} \) in drei gleiche Teile.

Ich erkenne hier ähnliche Dreiecke MDP und BCD, als auch BMQ und CDQ.

Ich weiß, dass man eine Strecke in drei gleich große Abschnitte teilen kann, indem man einen Strahl mit Anfangspunkt S zeichnet und dann auf a von S aus 2 gleich lange Strecken abträgt. Man verbindet noch Punkte A und B. Die dazu parallele Geraden teilen dann die Anfangstrecke gleichmäßig. (Vielleicht war das umständlich oder verwirrend erklärt, aber das Grundprinzip habe ich eigentlich verstanden.)

Irgendwie helfen mir diese beiden Sachen nicht weiter und ich weiß nicht wie ich die Aufgabe lösen könnte.

Vielen Dank schonmal im Voraus!!

Comments

Ich erkenne hier ähnliche Dreiecke MDP und BCD, als auch BMQ und CDQ.

Das erste soll wohl NDP und BCP heißen, das zweite habe ich markiert und man erkennt
DQ / QB =  DC / MB = 2  und analog BP / PD = 2 , woraus die Behauptung folgt.

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Oh ja, da habe ich mich aber heftig verschrieben. Danke für die Aufmerksamkeit!

Answer 1

Hallo Dr.POW,

Will man die Drittelung der Strecke \(DB\) zeigen, reicht es ja aus, zu zeigen, dass \(DP\) und \(PQ\) sowie \(PQ\) und \(QB\) jeweils paarweise gleich sind.

Füge noch eine Gerade \(h\) ein, die durch \(M_{AB}\) und \(M_{AD}\) verläuft und die Verlängerung von \(DC\) in \(X\) schneidet. Hier rot gestrichelt dargestellt.

\(h\) ist Mittelparallele im Dreieck \(\triangle ABD\) und folglich parallel zu \(BD\). Wegen der Parallelität von \(AB\) und \(DC\) halbiert \(M_{AD}\) nicht nur \(AD\), sondern auch \(M_{AB}X\). Weiter halbiert die Seitenhalbierende \(CM_{AD}\) des Dreiecks \(\triangle XM_{AB}C\) jede Parallele zu \(XM_{AB}\) - also auch die Strecke \(DQ\).

Folglich ist \(|DP| = |PQ|\). Das gleiche kann man für die Strecke \(|PB|\) zeigen, waraus dann folgt, dass \(|DP| = |PQ|=|QB|\) ist.

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Vielen Dank für die ausführliche Erklärung :)

Answer 2

Ich habe es mal so gezeichnet

~draw~ punkt(0|0 "A");punkt(6|0 "B");punkt(10|5 "C");punkt(4|5 "D");polygon(0|0 6|0 10|5 4|5);punkt(3|0 "M1");punkt(2|2.5 "M2");gerade(3|0 2|2.5);gerade(10|5 6|0);gerade(10|5 4|5);punkt(4|-2.5 "P");punkt(1|5 "Q");zoom(10) ~draw~

Dann Zerlegen die Geraden CM1 und CM2 die Strecke PQ in drei gleiche Teile.

(Beweise etwa die Kongruenz der Dreiecke PBM1   AM1M2  und  M2DQ mit wsw )

Also wird auch die parallele Strecke DB in 3 gleiche Teile geteilt.