eine Kostenfunktion aufstellen

Question

Aufgabe:

Man nehme an, dass die Produktionskosten eines Möbelstücks von einer quadratischen Funktion beschrieben werden. Für die Produktion von 5 Einheiten entstehen Kosten von 50 Währungseinheiten. Zusätzlich fallen 15 Währungseinheiten Grenzkosten an mit der Produktion von 6 Einheiten. Außerdem ist bekannt, dass bei der Produktion von 2 Einheiten Kosten von 10 Währungseinheiten anfallen.

Erstelle die Kostenfunktion.

Problem/Ansatz:

Aufgabenstellung ist im Original in Englisch, falls meine Übersetzung unverständlich ist, kann ich auch das Original posten :D

Die Lösung hab ich bereits:

C(Q) = Q² + 3Q +10

Answer 1

Außerdem ist bekannt, dass bei der Produktion von 2 Einheiten Kosten von 10 Währungseinheiten anfallen.

Die Lösung würde die Bedingung nicht erfüllen

K(2) = 20

Comments

„Finally it is also known that when 2 units are produced, an average cost of 10 monetary units is charged.“ Vielleicht ein Fehler meiner Übersetzung?

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Es handelt sich also um Durchschnittskosten (average cost → Kosten für 2 =20)

Dann ergibt sich mit dem Ansatz C(Q) = aQ² + bQ + c  das LGS

25·a + 5·b + c = 50  ∧  4·a + 2·b + c = 20 ∧  12·a + b = 15

mit der angegebenen Lösung für C(Q)

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sollte es dann nicht 36*a+6*b+c = 15 sein?

wie man da auf die letzte kommt verwirrt mich ein wenig.

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Die Grenzkosten werden mit der Ableitungsfunktion

C '(Q) = 2a·Q + b berechnet.

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Dann passt das alles.

K(x) = a·x^2 + b·x + c

K(5) = 50 --> 25·a + 5·b + c = 50
K'(6) = 15 --> 12·a + b = 15
K(2)/2 = 10 --> (4·a + 2·b + c)/2 = 10 → 4·a + 2·b + c = 20

Das liefert dann die Koeffizienten aus der Musterlösung

a = 1 ∧ b = 3 ∧ c = 10