Ist mein Lösungsansatz zu den Eigenschaften von Relationen richtig?

Question

Aufgabe:

Welche der Eigenschaften reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch bzw. transitiv hat die folgende Relation. Begründen Sie Ihre Behauptungen. (Es gehen Gegenbeweise und nur bei zutreffenden Stellen wird ein allgemeiner Beweis benötigt)

R = {(x,y) ∈ N>0 x N>0 | x ist Primteiler von y}

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits alle Eigenschaften untersucht. Bin mir aber nicht sicher, ob ich da wirklich richtig liege. Vor allem nicht beim Thema Antisymmetrie. Ich weiß das hier gelten müsste xRy ∧ yRx => y=x. Da mir aber bereits die Bedingung zu der Relation kopfzerbrechen bereitet hat, würde ich gerne wissen ob ich mit meiner Idee einer Lösung auf dem Holzweg bin.

Nicht reflexiv: Gegenbeweis (1,1) ∉ R - 1 hat keine Primteiler, weil die Null ausgeschlossen wurde bei der Zahlenmenge und 1 ist auch keine Primzahl

Nicht irreflexiv: Gegenbeweis (2,2) ∈ R

Nicht symmetrisch: Gegenbeweis (3,6) ∈ R und (6,3) ∉ R

Nicht antisymmetrisch: Gegenbeweis (2,12) ∈ R und (12,2) ∉ R

nicht transitiv: Gegenbeweis: (3,15) ∈ R und (15,28) ∉ R damit folgt das auch (3,28) ∉ R ist.

Vielen Dank im Voraus.

Terra

Answer 1

Bis auf "transitiv" und "antisymmetrisch"  ist es m.E. alles OK.

Bei antisymmetrisch musst du ja nachweisen:

a Primteiler von b und b Primteiler von a ==>     a=b

und das stimmt; denn wenn a und b beide Primteiler sind, sind

sie ja insbesondere auch selber Primzahlen.

Dann folgt aus a Primteiler von b und b Primteiler von a

Es gibt k,h ∈ℤ\ {0 } mit

                 k*a=b        und b*h=a

==>    k*a*h=a

==>      k*h = 1

Da wir aber k,h ∈ℤ\ {0 } haben, geht das nur für k=h=1 oder k=h=-1.

Da aber a und b positiv sind, bleibt nur k=h=1

also a=b  und damit ist R antisymmetrisch.

"transitiv"   ist es auch,

denn zum Widerlegen von "transitiv"  musst du ja (a,) und (b,c) in R finden,

so dass (a,c) nicht in R ist .

Also sowas wie

a ist Primteiler von b und  b ist Primteiler von c.

Damit das erfüllt ist, muss b selber eine Primzahl ( denn

es ist ja ein Primteiler von c) sein, also klappt das

nur mit a=b . Dann ist aber

a ist Primteiler von c

auch erfüllt. Also ist es transitiv.

Comments

Guten Morgen,

danke für die ausführliche Antwort.

antisymmetrie

Bedeutet aber nicht das Symbol "==>" das es immer eine Allgemeingültige Aussage sein muss? D.h. ich muss doch nur ein Beispiel finden wo a oder b kein Primteiler ist.
Wenn es nicht stimmt, dann reicht es bei dem Nachweis von der Antisymmetrie, das sich nur einen einzigen finde der zutrifft?

Desweiteren macht es einen Unterschied, dass du Z als Zahlenmenge aufruft und die Aufgabe N als Zahlenmenge verlangt?

Transitiv

Hier eigentlich die selbe Frage. Muss die Transitivität nicht mit jedem x,y,z gelten, damit es allgemeingültig wird?

Ich merke gerade, vielleicht liegt hier das Problem, dass ich denke entweder alles oder nichts.

Terra

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Bedeutet aber nicht das Symbol "==>" das es immer eine Allgemeingültige Aussage sein muss?

Genau! Aber wenn die Praemisse ( also was vor dem ==> steht) falsch ist,

dann ist die Folgerungsaussage wahr.ft?

Desweiteren macht es einen Unterschied, dass du Z als Zahlenmenge aufruft und die Aufgabe N als Zahlenmenge verlangt?  OK, das könnte man sofort einschränken. Ich war von der üblichen Definition der Teilbarkeit ausgegangen.

Transitiv

Hier eigentlich die selbe Frage. Muss die Transitivität nicht mit jedem x,y,z gelten, damit es allgemeingültig wird?
s.o.  Die Praemisse muss als wahr angenommen werden.

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Hallo mathef,

vielen herzlichen Dank! Ich habe mich nochmal drangesetzt und jetzt verstehe ich auch wo ich falsch abgebogen bin. :) Vielen herzlichen Dank. Damit bin ich jetzt in der Lage die restlichen Aufgaben auch zu lösen.

Danke auch für deine Erklärung.

Ich wünsche dir einen schönen Abend und bleib gesund.

Terra