Zeigen von teilmengen von abbildung

Question

Aufgabe:

A,B seien Mengen.

f:A->B eine Abbildung A₁ ^, A_2 ⊆  A und B1 ⊆ B

zz: f(f^-1(B1)) ⊆ B1

Ich habe es mir anhand eines Beispiels veranschaulicht nun ist mein Problem wie ich das formale zeige.

Also ich habe mir gedacht  ein Urbild f^-1(B1) = C und c eine Menge ist

Also f( f ^-1(B1))⇒ { f(x) : x∈C}⇒{f(x): x∈f^-1(B1)}⇒( x∈A: f(x)∈B1

Aber leider weiss ich nicht wie ich zu B1 komme...

Answer 1

Hallo,

es ist \(f^{-1}(B1)=\{a \in A \mid f(a) \in B1\}\).

Wir betrachten nun ein \(b \in f(f^{-1}(B1))\). Das bedeutet, es ist \(b=f(a)\) mit einem \(a \in f^{-1}(B1)\). Wegen der Definition des Urbilds \(f^{-1}(B1)\) folgt: \(b=f(a) \in B1\).

Insgesamt ist gezeigt: Jedes \(b \in f(f^{-1}(B1))\) liegt auch in \(B1\).

Gruß