Differentialgleichung - Homogenen Gravitationsfeld

Question

Aus der Vorlesung ist bekannt, dass bei vertikaler Bewegung im homogenen Gravitationsfeld mit Reibung, \( \vec{F}=-m g \vec{e}_{3}-\gamma v \vec{e}_{3}, \) die Geschwindigkeit die Differentialgleichung

\( \frac{d v}{d t}+\frac{\gamma}{m} v=-g \)
erfüllt.
(a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser Differentalgleichung durch Trennung der Variablen.
(b) Berechnen Sie die Scheitelhöhe \( z_{s}, \) die das Teilchen erreicht, wenn die Anfangshöhe \( z\left(t_{0}\right) \) und die Anfangsgeschwindigkeit \( v\left(t_{0}\right)>0 \) gegeben sind.

Danke euch!

Answer 1

wir haben hier eine inhomogene Differentialgleichung gegeben.

\( \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\gamma}{m}v = -g \)

Lösen kannst du die mittels einer homogenen \( v_h(t) \) und einer partiellen Lösung \( v_p(t) \).

Das heißt, du betrachtest jetzt erstmal die homogene Version deiner DGL,

\( \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\gamma}{m}v = 0 \),

und formst die so um, dass du auf der einen Seite nur "t" und auf der anderen Seite "v" stehen hast. Der Rest ist dann einfache Integration.

Die partielle Lösung bekommst du durch einen geeigneten Ansatz.

Hast du die homogene und partielle Lösung berechnet, bekommst du deine Lösung der inhomogenen DGL durch

\( v(t) = v_h(t) + v_p(t) \).

Lg

Comments

Danke dir für deine Hilfe, hat mir sehr geholfen!

Answer 2

Wenn Du \( v(t) = \dot s(t) \) setzt, bekommst Du ein Anfangswertproblem für eine inhomogene Dgl. zweiter Ordnung heraus. Nämlich

$$ \ddot s(t) + \frac{\gamma}{m} \dot s(t) = -g $$ mit \( s(t_0) = s_0 \) und \( \dot s(t_0) = v_0 \)

Das kann man mit Standardmethoden lösen, z.B. charakteristische Gleichung aufstellen und diese lösen. Die resultierenden beiden Lösungen superpositonieren und die darin enthaltenden beiden Konstanten durch die Anfangsbedingung bestimmen.

Um die Scheitelhöhe zu berechnen, muss die Gleichung \( \dot s(t) = 0 \) nach \( t \) aufgelöst werden und die Lösung in \( s(t) \) eingesetzt werden.

Comments

Ah, gut , danke habe es jetzt verstanden!!

Answer 3

Hallo,

(a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung durch Trennung der Variablen.

Wenn Du es mit anderen Verfahren löst, mußt Du mit Punktabzug rechnen.

\( \frac{d v}{d t}+\frac{\gamma}{m} v=-g \)

dv/dt = - g -\( \frac{γ}{m} \) *v

dv/dt= (-g m -γ v)/m

dv *m= dt(-g m -γ v)

∫\( \frac{dv *m}{-gm-γv} \) = ∫ dt

Tipp zwecks Lösung des Integrales , Subtituiere z=-gm-γv

usw.

Comments

Danke dir, habs verstanden!