Aloha :)
(a) Wir formen den Folgenterm zunöchst ein wenig um:$$a_n=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{n-(n-1)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$$$$\phantom{a_n}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$$Als Grenzwert der Folge vermuten wir daher \(a=0\). Wir prüfen das mit dem \(\varepsilon\)-Kriterium. Sei dazu ein \(\varepsilon>0\) beliebig aber fest gewählt, dann gilt:
$$\left|a_n-a\right|=\left|\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}-0\right|=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}<\frac{1}{2\sqrt{n-1}}\stackrel!<\varepsilon$$$$\Leftrightarrow\quad2\sqrt{n-1}>\frac{1}{\varepsilon}\quad\Leftrightarrow\quad n>\left(\frac{1}{2\varepsilon}\right)^2+1$$Für alle \(\varepsilon>0\) gibt es also ein \(n_0=\left\lceil\left(\frac{1}{2\varepsilon}\right)^2+1\right\rceil\), sodass \(|a_n-0|<\varepsilon\) für alle \(n\ge n_0\) gilt. Damit konvergiert die Folge \((a_n)\) gegen \(0\).
(b) Hier hilft im Zähler die dritte und im Nenner die zweite binomische Formel:$$\frac{t^2-9}{t^2-6t+9}=\frac{(t-3)(t+3)}{(t-3)^2}=\frac{t+3}{t-3}$$
