2 | x -1 | < x^2-1 wie kann ich den Potenz weg manchen?

Question

Aufgabe:

Ungleichung
Problem/Ansatz:

2 | x -1 | < x^2-1   wie kann ich den Potenz weg manchen ?

Ich habe die Lösungsmenge L1 = x > 1 und L2 =  x<-3

Vielen Dank

Comments

Du kannst nicht die Potenz aber du solltest den Betrag für die Fälle x≥1 bzw. x<1 "wegmachen"

Das ergibt dann für jeden Fall eine quadratische Ungleichung

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die Ungleichung und stellen zuerst fest, dass die rechte Seite immer positiv sein muss, weil die kleinere linke Seite auch immer positiv oder gleich null ist. Wir müssen daher fordern, dass \(x^2-1>0\) bzw. \(x<-1\) oder \(x>1\) gilt. Das schreiben wir uns dazu:$$2|x-1|<x^2-1\quad;\quad x\in(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$$Jetzt verwenden wir die 3-te binomische Formel, um die Potenz weg zu machen. Es gilt nämlich:$$x^2-1=(x+1)(x-1)$$Das heißt für unsere Ungleichung:$$2|x-1|<(x+1)(x-1)\quad;\quad x\in(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$$

Nun machen wir für beide Teilbereiche der zulässigen \(x\)-Werte eine Fallunterscheidung.

1. Fall: \(x\in(1;\infty)\)

Wegen \(x>1\), können wir \(|x-1|\) durch \((x-1)\) ersetzen:$$\left.2(x-1)<(x+1)(x-1)\quad\right|\quad:\,(x-1)$$$$\left.2<x+1\quad\right|\quad-1$$$$\left.1<x\quad\right.$$Damit erfüllen lösen schon mal alle \(x\in(1;\infty)\) die Ungleichung.

2. Fall: \(x\in(-\infty;-1)\)

Wegen \(x<-1\), können wir \(|x-1|\) durch \((-(x-1))\) ersetzen:$$\left.-2(x-1)<(x+1)(x-1)\quad\right|\;:\,(x-1)$$Achtung, hier ist \(x-1<0\). Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert, wird aus "kleiner als" ein "größer als" und umgekehrt.$$\left.-2>x+1\quad\right|\quad-1$$$$\left.-3>x\quad\right.$$In diesem zweiten Fall sind leider nicht alle betrachten \(x\)-Werte eine Lösung, wir müssen den zulässigen Bereich auf Werte \(x<-3\) einschränken. Damit liefert dieser Fall die Lösungen \(x\in(-\infty;-3)\).

Der gesamte Lösungsbereich lautet also: \(\boxed{x\in(-\infty;-3)\cup(1;\infty)}\)

~plot~ 2*abs(x-1) ; x^2-1 ; {-3|8} ; {1|0} ; [[-4|4|-2|12]] ~plot~

Answer 2

2·|x - 1| < x^2 - 1

Deine Lösung ist fast richtig. Sie lautet: x < -3 ODER x > 1

Es gibt ja keine Zahl die kleiner als -3 UND gleichzeitig großer als 1 ist.

Und die Lösungsmenge schreibt man dann L = (-∞ ; -3) ∪ (1 ; ∞)

Answer 3

2 | x -1 | < x^2-1

Fallunterscheidung Betrag
x - 1 ≥ 0
x ≥ 1
Dafür gilt
2 * ( x - 1 ) < x^2 - 1
x^2 - 1 > 2x - 2
x^2 - 2x > -1
x^2 - 2x + 1^2 > -1 + 1
( x^2 - 1 ) ^ 2 > 0 gilt für alle x
Eingangsvoraussetzung
x ≥ 1

Fallunterscheidung Betrag
x - 1 < 0
x < 1
Dafür gilt
2 * ( x - 1 ) * (-1) < x^2 - 1
Schaffst du den Rest ?

Answer 4

Ein ganz schneller Weg :

2 | x -1 | < x^2-1       |^2

4 ( x -1 )^2     <      (x^2 - 1 )^2

4 ( x -1 )^2 <     (x+1 )^2 •( x-1 )^2      | : ( x - 1) ^2

(x+1 )^2    >   4 

x₁    <   -  3

x₂  >   1

(1, ∞)

( -  ∞, - 3)

mfG

Moliets