Aloha :)
Wir betrachten die Ungleichung und stellen zuerst fest, dass die rechte Seite immer positiv sein muss, weil die kleinere linke Seite auch immer positiv oder gleich null ist. Wir müssen daher fordern, dass \(x^2-1>0\) bzw. \(x<-1\) oder \(x>1\) gilt. Das schreiben wir uns dazu:$$2|x-1|<x^2-1\quad;\quad x\in(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$$Jetzt verwenden wir die 3-te binomische Formel, um die Potenz weg zu machen. Es gilt nämlich:$$x^2-1=(x+1)(x-1)$$Das heißt für unsere Ungleichung:$$2|x-1|<(x+1)(x-1)\quad;\quad x\in(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$$
Nun machen wir für beide Teilbereiche der zulässigen \(x\)-Werte eine Fallunterscheidung.
1. Fall: \(x\in(1;\infty)\)
Wegen \(x>1\), können wir \(|x-1|\) durch \((x-1)\) ersetzen:$$\left.2(x-1)<(x+1)(x-1)\quad\right|\quad:\,(x-1)$$$$\left.2<x+1\quad\right|\quad-1$$$$\left.1<x\quad\right.$$Damit erfüllen lösen schon mal alle \(x\in(1;\infty)\) die Ungleichung.
2. Fall: \(x\in(-\infty;-1)\)
Wegen \(x<-1\), können wir \(|x-1|\) durch \((-(x-1))\) ersetzen:$$\left.-2(x-1)<(x+1)(x-1)\quad\right|\;:\,(x-1)$$Achtung, hier ist \(x-1<0\). Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert, wird aus "kleiner als" ein "größer als" und umgekehrt.$$\left.-2>x+1\quad\right|\quad-1$$$$\left.-3>x\quad\right.$$In diesem zweiten Fall sind leider nicht alle betrachten \(x\)-Werte eine Lösung, wir müssen den zulässigen Bereich auf Werte \(x<-3\) einschränken. Damit liefert dieser Fall die Lösungen \(x\in(-\infty;-3)\).
Der gesamte Lösungsbereich lautet also: \(\boxed{x\in(-\infty;-3)\cup(1;\infty)}\)
~plot~ 2*abs(x-1) ; x^2-1 ; {-3|8} ; {1|0} ; [[-4|4|-2|12]] ~plot~
