Nachdem ich es ausgerechnet hatte, habe ich gesehen, dass du es bereits gelöst hast. Ich schreibe meine Lösung dennoch hin, weil ich sie nicht einfach in die Tonne kloppen möchte. Vielleicht kann sie als Kontrolle dienen ...
Setzt man As ( t ) in f ( t ) ein, so erhält man:
f ( t ) = 2 * 1 * cos ( 2 π * 5 * t + 2 π * 18 ) * cos ( 2 π * 455 * t + 2 π * 6 / 8 )
= 2 cos ( 10 π t + 36 π ) * cos ( 910 π t + 1,5 π )
[wegen der Periodizität des Kosinus:]
= 2 cos ( 10 π t ) * cos ( 910 π t + 1,5 π )
[Es gilt: 2 * cos ( a ) * cos ( b ) = cos ( a - b ) + cos ( a + b ) , also:]
= cos ( 10 π t - 910 π t - 1,5 π ) + cos ( 10 π t + 910 π t + 1,5 π )
= cos ( - 900 π t - 1,5 π ) + cos ( 920 π t + 1,5 π )
Der Wert dieses Terms soll für alle t ∈ R gleich dem Wert des folgenden Ausdrucks sein:
Re( A1 e i ω1 t + A2 e i ω2 t )
mit A1 = A e i α1 und A2 = A e i α2 , also:
Re( A e i α1 * e i ω1 t + A e i α2 * e i ω2 t )
= Re ( A ( e i α1 * e i ω1 t + e i α2 * e i ω2 t ) )
= Re ( A ( e i ( α1 + ω1 t) + e i ( α2 + ω2 t ) ) )
= Re ( A ( cos ( α1 + ω1 t ) + i sin ( α1 + ω1 t ) + cos ( α2 + ω2 t ) + i sin ( α2 + ω2 t ) ) )
= Re ( A ( cos ( α1+ ω1 t ) + cos ( α2 + ω2 t ) + i ( sin ( α1 + ω1 t ) + sin ( α2 + ω2 t ) ) ) )
= A ( cos ( α1+ ω1 t ) + cos ( α2 + ω2 t )
Vergleicht man die beiden fett gesetzten Terme, so erkennt man:
A = 1
α1= - 3 π / 2
ω1= - 900 π
α2 = 3 π / 2
ω2= 900 π
und somit ist:
A1 = A e i α1 = e- i ( 3 π / 2 )
A2 = A e i α2 = e i ( 3 π / 2 )