Aufgabe:
Betrachte die Funktion:
\( f(t)=A_{s}(t) \cdot \cos \left(2 \pi \cdot 430 \cdot t+2 \pi \cdot \frac{5}{8}\right), t \in R \)
wobei \( A_{s}(t) \) auch eine oszillierende Funktion ist:
\( A_{s}(t)=2 \cdot 4 \cdot \cos \left(2 \pi \cdot 8 \cdot t+2 \pi \cdot \frac{4}{8}\right) \)
Berechne komplexe Zahlen \( A_{1}, A_{2} \) mit gleichem Betrag \( \left|A_{1}\right|=\left|A_{2}\right|=A \) und \( \omega_{1}, \omega_{2} \in R \) so, dass für alle \( t \in R \)
\( f(t)=A \cdot \operatorname{Re}\left(e^{i \alpha_{1}} e^{i \omega_{1} t}+e^{i \alpha_{2}} e^{i \omega_{2} t}\right) \)
Dabei werden die Notationen verwendet:
\( A_{1}=A e^{i \alpha_{1}}, A_{2}=A e^{i \alpha_{2}} \)
Als Hilfestellung ist noch diese Demo gegeben:
Hier mein Ansatz:
Gegeben haben wir ja folgende Gleichungen:
$$ f(t)=As(t)*cos(2 \pi*430t+2 \pi*\dfrac{5}{8}) \\ As(t)=2*4*cos(2 \pi * 8t + 2 \pi *\dfrac{4}{8} )\\ $$
Beide habe ich auf die Form in der "Demo" gebracht, indem ich 2 pi ausgeklammert habe:
$$ f(t)=As(t)*cos(2 \pi(430t+\dfrac{5}{8}))\\ As(t)=8*cos(2 \pi(8t + \dfrac{4}{8}) )\\ $$
Dann wende ich, wie in der "Demo" die Formel an:
$$ cos(a)+cos(b)=cos(\frac{a+b}{2})*cos(\frac{a-b}{2}) \\ \leftrightarrow \frac{a+b}{2}=2\pi(430t+\frac{5}{8}) \\ \text{ und } \frac{a-b}{2}=2\pi(8t+\frac{4}{8})$$
Für a und b bekomme ich dann:
$$ a=2\pi(438t+\dfrac{9}{8}) \ \ und \ \ b=2\pi(422t+\dfrac{1}{8}) $$
Stimmt das bis hier? Ich weiß nicht, wie der nächste Schritt der "Demo" ausgeführt wurde... woher kommt die 3 vor der Klammer? Hat jemand Tipps oder kann ein wenig Hilfestellung leisten? Danke :)
Ich habe es nun nochmal selbst anhand der Demo versucht und würde nur gerne noch wissen, ob das so stimmt.
Hier meine Lösungen:
$$ f(t)=4(cos(2\pi(438t+\dfrac{9}{8}))+cos(2\pi(422t+\dfrac{1}{8}))) \\ = 4Re(e^{2\pi*i*\frac{9}{8}}*e^{2\pi*i*438t}+e^{2\pi*i*\frac{1}{8}}*e^{2\pi*i*422t}) $$
Demnach wäre entsprechend der Demo:
$$ A_1=4e^{2\pi*i*\frac{9}{8}}, \\ A_2=4e^{2\pi*i*\frac{1}{8}}, \\ w_1=2\pi*438, \\ w_2=2\pi*422 $$
