Frage zur Schwingung. f(t)=As(t)⋅cos(2π⋅455⋅t+2π⋅6/8),t∈R

Question

Betrachte die Funktion:

f(t)=As(t)⋅cos(2π⋅455⋅t+2π⋅6/8),t∈R

wobei As(t) auch eine oszillierende Funktion ist:

As(t)=2⋅1⋅cos(2π⋅5⋅t+2π⋅18)

Berechne komplexe Zahlen A1,A2 mit gleichem Betrag |A1|=|A2|=A und
ω1,ω2∈R so, dass für alle t∈R

f(t)= Re( A1*e^iw1t + A2e^iw2t  )  -> die 1 und 2 von  A  und die 1 und 2 von w stehen unterhalb der jeweiligen                                                                                  Buchstaben

Dabei werden die Notationen verwendet:

A1=Ae^iα1,A2=Ae^iα2

Gesucht ist auf jeden Fall:

A1 =  ?   *  e^    i ?       w1 =  ?

A2 =  ?   *  e^    i  ?       w2 = ?

Ich habe keinen blassen Schimmer wie das geht. Für diese Aufgabe gibt es 10 Punkte -.-

Wäre für Hilfe sehr dankbar.

Comments

Antworten kann ich da leider nicht. Kontrolliere bitte nochmals die Exponenten. Vielleicht ist da bei

A1=Aeⁱα1, A2=Aeⁱα2

nicht ganz so viel hochgestellt, wie du das wolltest.

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Ich habe es zum Glück lösen können :)
Danke :)

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Könntest Du deine Lösung teilen? Ich sitze ebenfalls vor dieser Aufgabe ...

Answer 1

Nachdem ich es ausgerechnet hatte, habe ich gesehen, dass du es bereits gelöst hast. Ich schreibe meine Lösung dennoch hin, weil ich sie nicht einfach in die Tonne kloppen möchte. Vielleicht kann sie als Kontrolle dienen ...

Setzt man As ( t ) in f ( t ) ein, so erhält man:

f ( t ) = 2 * 1 * cos ( 2 π * 5 * t + 2 π * 18 ) * cos ( 2 π * 455 * t + 2 π * 6 / 8 )

= 2 cos ( 10 π t + 36 π ) * cos ( 910 π t + 1,5 π )

[wegen der Periodizität des Kosinus:]

= 2 cos ( 10 π t ) * cos ( 910 π t + 1,5 π )

[Es gilt: 2 * cos ( a ) * cos ( b ) = cos ( a - b ) + cos ( a + b ) , also:]

= cos ( 10 π t - 910 π t - 1,5 π ) + cos ( 10 π t + 910 π t + 1,5 π )

= cos ( - 900 π t - 1,5 π ) + cos ( 920 π t + 1,5 π )

Der Wert dieses Terms soll für alle t ∈ R gleich dem Wert des folgenden Ausdrucks sein:

Re( A₁ e ^{i ω₁ t} + A₂ e ^{i ω₂ t}  )

mit A₁ = A e ^{i α₁} und A₂ = A e ^{i α₂} , also:

Re( A e ^{i α₁} * e ^{i ω₁ t} + A e ^{i α_{2 *}} e ^{i ω₂ t}  )

= Re ( A ( e ^{i α₁} * e ^{i ω₁ t} + e ^{i α_{2 *}} e ^{i ω₂ t} ) )

= Re ( A ( e ^{i ( α₁ + ω₁ t)} + e ^{i ( α₂ + ω₂ t )} ) )

= Re ( A ( cos ( α₁ + ω₁ t ) + i sin ( α₁ + ω₁ t ) + cos ( α₂ + ω₂ t ) + i sin ( α₂ + ω₂ t ) ) )

= Re ( A ( cos ( α₁+ ω₁ t ) + cos ( α₂ + ω₂ t ) + i ( sin ( α₁ + ω₁ t ) + sin ( α₂ + ω₂ t ) ) ) )

= A ( cos ( α₁+ ω₁ t ) + cos ( α₂ + ω₂ t )

Vergleicht man die beiden fett gesetzten Terme, so erkennt man:

A = 1
α₁= - 3 π / 2  
ω₁= - 900 π 
α₂ = 3 π / 2
ω₂= 900 π

und somit ist:

A₁ = A e ^{i α₁}  = e^{- i ( 3 π / 2 )}
A₂ = A e ^{i α₂}  = e ^{i ( 3 π / 2 )}

Comments

wo ist die Amplitude von
2 cos ( 10 π t ) * cos ( 910 π t + 1,5 π ) hin ?

außerdem ist die aufgabe nicht 18 sondern 1/8 !

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außerdem ist die aufgabe nicht 18 sondern 1/8

In der Aufgabenstellung steht 18 , nicht 1/8.

Bitte konkretisiere deine Rückfrage.

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naja ich hab die gleiche aufgabenstellung (wohl gleiche uni ;) )

und ja ich meine da oben rechnest du mit 2*cos

und unten in dem komplexen schwingungsausdruck steht bei A eine 1 .

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Achso, jetzt verstehe ich. Du bist der andere Anonym, der eine ganz ähnliche Aufgabenstellung hatte, wie der hiesige :-)

Nun, die 2 verschwindet bereits an der Stelle meiner Antwort, an der ich
Es gilt: 2 * cos ( a ) * cos ( b ) = cos ( a - b ) + cos ( a + b )
schrieb ...

Und wenn bei dir nicht  18 sondern 1 / 8 in der Aufgabenstellung steht, dann ergibt sich daraus

f ( t ) = 2 cos ( 10 π t + ( 2 / 8 ) π ) * cos ( 910 π t + 1,5 π )

und daraus wegen 2 * cos ( a ) * cos ( b ) = cos ( a - b ) + cos ( a + b ) dann:

= cos ( 10 π t - 910 π t - 5 π / 4 ) + cos ( 10 π t + 910 π t + 7 π / 4  )

= cos ( - 900 π t - 5 π / 4 ) + cos ( 920 π t + 7 π / 4  )

Der Vergleich mit

= A ( cos ( α₁+ ω₁ t ) + cos ( α₂ + ω₂ t ) liefert dann:

A = 1
α₁= - 5 π / 4 
ω₁= - 900 π 
α₂ = 7 π / 4
ω₂= 900 π

und somit ist dann:

A₁ = A e ^{i α₁}  = e^{- i ( 5 π / 4 )}
A₂ = A e ^{i α₂}  = e ^{i ( 7 π / 4 )}

 

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Da man den Betrag von A₁ und A₂ berechnen muss, wird der gesamte Quatsch nicht dann positiv ?

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Hallo JotEs,

vielen Dank für deine hilfreiche Antwort. Könntest du deine Aussage "wegen der Periodizität des Kosinus" etwas weiter ausformulieren? Was versteht man darunter?
Grüße

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Da man den Betrag von A₁ und A₂ berechnen muss, wird der gesamte Quatsch nicht dann positiv ?

Die Aufgabenstellung verlangt keine konkrete Berechnung der Beträge von A₁ bzw. A₂. Die Lösung soll lediglich so ausfallen, dass diese Beträge einander gleich sind. Das aber passiert "automatisch". Es ergibt sich:

| A₁ | = | A₂ | = A = 1

Könntest du deine Aussage "wegen der Periodizität des Kosinus" etwas weiter ausformulieren?

Die Kosinusfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge 2 π. Das bedeutet:

cos ( x ) = cos ( x + 2 π ) = cos ( x + 4 π ) = ... = cos ( x + 36 π )  = ...

Deshalb kann man cos ( 10 π t + 36 π ) durch cos ( 10 π t ) ersetzen.