Verschiebung des Vektors in 2D. Erklärung des Rechenweges gesucht.

Question

Aufgabe:

Es soll die kürzeste horizontale Strecke ereicht werden.

Die beiden Vektoren v und v_B sollen so verschoben werden, das v genau auf der x-Achse liegt.
Nun verstehe ich nicht, wie die Rechnung in diesem Punkt zustande kommt.

Problem/Ansatz:

v_B = 4 m/s

v_F = 3 m/s

v = v_B, v_F

$$ \vec{v}=\begin{pmatrix} v_{x}\\v_{y} \end{pmatrix} = \vec{v_{F}}+\vec{v_{B}} =\begin{pmatrix} v_{x}\\0 \end{pmatrix}\\ \vec{v} = \begin{pmatrix} 0\\3 \end{pmatrix} +\vec{v_{Bx}}+\vec{v_{By}} = \begin{pmatrix} v_{Bx}\\0\end{pmatrix}\rightarrow v_{By} = -3\frac{m}{s}\\ |\vec{v_{B}}|=\sqrt{v^{2}_{Bx}+v^{2}_{By}} = 4 \frac{m}{s}\\ \rightarrow |\vec{v_{Bx}}|=\sqrt{v^{2}_{B}+v^{2}_{By}} = \sqrt{7} \frac{m}{s}\\ t=\frac{b_{F}}{v_{Bx}}= 37,8s $$

Answer 1

Hallo Cron,

wahrscheinlich hat Dir noch niemand geantwortet, weil die Aufgabenstellung unklar ist. Wahrscheinlich geht es darum, einen Fluß der Breite \(b_f=100\, \text m\) mit einem Boot zu überqueren, welches mit einer Geschwindigkeit von \(v_B=4\,\text {m/s}\) unterwegs ist. Die Fließgeschwindigkeit ist \(v_F=3\, \text{m/s}\). Weiter ist es wohl so, dass das Boot den kürzesten Weg, aber nicht die kürzeste Zeit wählen soll.

Dazu eine Skizze:

An der Geschwindigkeit \(v_F\) (blauer Vektor) des Flusses kann man nichts ändern. Wenn das Boot auf der Linie zwischen \(A\) und \(B\) bleiben soll, muss es mit seiner Geschwindigkeit \(v_B\) (rot) dagegen anfahren. Und zwar genau so weit, dass es auf der markierten Linie bleibt.

In der zeichnerischen Konstruktion erreicht man dies, indem man um die Spitze von \(v_F\) einen Kreis mit dem Radius \(|v_B|\) schlägt. Der Schnittpunkt mit der Gerade \(AB\) ist dann die Spitze des resultierenden Vektors \(v\) (grün). Es gilt in jedem Fall$$v = v_F + v_B, \quad v_F = \begin{pmatrix}0\\ 3\end{pmatrix}$$\(v\) soll in Richtung der X-Achse laufen. Das bedeutet, dass die Y-Koordinate \(v_y\) von \(v\) gleich 0 ist. Also $$v = \begin{pmatrix}v_x\\ 0\end{pmatrix}$$Die X-Koordinate \(v_x\) ist noch unbekannt. Nun löst man die erste Gleichung nach \(v_B\) auf und setzt das \(v\) ein:$$\begin{aligned} v &= v_F + v_B \\ v_B &= v - v_F \\ \begin{pmatrix}v_{Bx}\\ v_{By}\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}v_x\\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\ 3\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}v_x\\ -3\end{pmatrix} \\ \implies v_{By} &= -3\end{aligned}$$Das \(v_{By}\) folgt aus der letzten Zeile der Vektorgleichung.

Und anschließend wird nur noch ausgenutzt, dass der Betrag der Bootsgeschwindigkeit \(|v_B|\) bekannt ist. Da ist noch ein kleiner Fehler in der Rechnung. Es muss heißen:$$|v_{Bx}| = \sqrt{ v_B^2 - v_{By}^2} = \sqrt{4^2- (-3)^2} = \sqrt 7$$\(v_{Bx}\) ist auch kein Vektor, sondern nur die X-Koordinate des Vektors.

Falls noch etwas unklar ist, so melde Dich bitte.

Comments

Hallo Werner,

ich danke dir vielmals für deinen hilfreichen Beitrag.
Dank deiner Hilfe konnte ich den Rechenweg nun vollständig nachvollziehen.

Liebe Grüße