Zeigen Sie, dass für jedes n ∈ ℕ* und alle a0, . . . ,an gilt, dass...

Question

Hallo Lounge

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für jedes n ∈ ℕ*  und alle a₀, . . . , a_n ∈ ℝ gilt, dass

\( \sum \limits_{j=1}^{n}\left(a_{j}-a_{j-1}\right)=a_{n}-a_{0} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll, die Rechenschritte mit Erklärungen wäre super.

Answer 1

Aloha :)

$$S_n\;:\!=\sum\limits_{j=1}^n\left(a_j-a_{j-1}\right)=\sum\limits_{j=1}^n a_j-\sum\limits_{j=1}^na_{j-1}$$Die zweite Summe lassen wir nun nicht mehr von \(1\) bis \(n\) laufen, sondern von \(0\) bis \((n-1)\) und erhöhen dafür den Index \(j\) bei den einzelnen Summanden um \(1\):$$S_n=\sum\limits_{j=1}^n a_j-\sum\limits_{j=0}^{n-1}a_{(j+1)-1}=\sum\limits_{j=1}^n a_j-\sum\limits_{j=0}^{n-1}a_j=\left(a_n+\sum\limits_{j=1}^{n-1} a_j\right)-\left(\sum\limits_{j=1}^{n-1}a_j+a_0\right)$$Wir haben von der ersten Summe den obersten Summanden \(a_n\) losgelöst und von der zweiten Summe den unteren Summanden \(a_0\). Die beiden verbliebenen Summen sind nun gleich und heben sich gegenseitig weg:$$S_n=a_n+\left(\sum\limits_{j=1}^{n-1} a_j-\sum\limits_{j=1}^{n-1} a_j\right)-a_0=a_n-a_0$$