Umformung von Termen im Bruch // Grenzwert berechnen

Question

Aufgabe:

Ich habe in einer Musterlösung folgende Bruchumformung gefunden und verstehe leider nicht genau wie sie funktioniert. Generell geht es bei der Aufgabe darum die Grenzwerte zu berechnen und wie man nach der Umformung erkennen kann konvergieren die Teile mit n gegen 0 und es bleibt 1/3 übrig.

$$ \frac{n^{2}-2 n+4}{2 n^{2}+3 n-1}=\frac{1-\frac{2}{n}+\frac{4}{n^{2}}}{2+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^{2}}} $$

Problem/Ansatz:

Ich habe in beide Richtungen versucht die Umformung nachzuvollziehen entsprechend mit Kehrwert und Aufteilung des Bruchs, leider komme ich auf kein Ergebnis.

Vielen Dank im voraus für jede Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

Im Zähler und Nenner wird \(n^2\) ausgeklammert und danach rausgekürzt:$$\frac{n^2-2n+4}{2n^2+3n-1}=\frac{n^2\left(1-\frac{2}{n}+\frac{4}{n^2}\right)}{n^2\left(2+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^2}\right)}=\frac{\cancel{n^2}\left(1-\frac{2}{n}+\frac{4}{n^2}\right)}{\cancel{n^2}\left(2+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^2}\right)}=\frac{1-\frac{2}{n}+\frac{4}{n^2}}{2+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^2}}$$Der Grenzwert ist daher \(\frac{1}{2}\).

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Vielen Dank! Die Zwischenschritte waren wirklich hilfreich.

Answer 2

Text erkannt:

\( \frac{n^{2}-2 n+4}{2 n^{2}+3 n-1}=\frac{\frac{n^{2}}{n^{2}}-\frac{2 n}{n^{2}}+\frac{4}{n^{2}}}{\frac{2 n^{2}}{n^{2}}+\frac{3 n}{n^{2}}-\frac{1}{n^{2}}}=\frac{1-\frac{2}{n}+\frac{4}{n^{2}}}{2+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^{2}}} \)
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{2}{n}+\frac{4}{n^{2}}}{2+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^{2}}} \rightarrow \frac{1}{2} \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets

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