DGL y'' + 2y' + 1=x*e^x

Question

Aufgabe:

Guten Tag ich habe folgende Aufgabe:

Ich habe die DGL 2. Ordnung gegeben durch: y'' + 2y' + 1 = g_i(x) wobei g_i(x) = x*e^x ist.

Ich habe die Inhom. DGL gelöst mit dem Ansatz Lamda^2 + 2Lamda +1 = 0 → (Lamda +1)^2 → Lamda_1/2 = -1

Lösung C_1*e^-x + C_2*xe^-x

Problem/Ansatz:

So und die Störfunktion ist ja x*e^x da ist ja der Ansatz → (a+bx)*e^x das leite ich zweimal ab und setzte ein. Aber bei mir kommt zum schluss: e^x(9a+5b+4bx) und was soll ich da jetzt machen?
Bitte eine ausführliche erklärung. Danke.

Answer 1

Hallo,

y'' + 2y' + 1=x*e^x

y'' + 2y' =x*e^x -1

λ^2 +2λ=0

 λ₁=0

λ₂= - 2

y_h=C₁ e^(-2x) +C₂

y_p1=A x

y_p2=Be^x +Ce^x*x

y=y_p1+y_p2

-->yp= Ax +B e^x +Ce^x *x

yp'= A+ Be^x +Ce^x(x+1)

yp''=  Be^x +Ce^x(x+2)

------->yp ,yp',yp'' in die DGL einsetzen:

y'' + 2y' =x*e^x -1

Be^x +Ce^x(x+2) +2(A+ Be^x +Ce^x(x+1))= x*e^x -1

und vereinfachen:

3C x e^x+4C e^x +3Be^x +2A= x e^x -1

------>Koeffizientenvergleich:

x^0: 2A=-1

e^x: 4C+3B=0

x e^x: 3C=1

--->
A=-1/2

B=-4/9

C=1/3

yp=  (-1/2)x -(4/9) e^x + (1/3)e^x *x

y=y_h+y_p

y=yh=C₁ e^(-2x) +C₂ +(-1/2)x -(4/9) e^x + (1/3)e^x *x