Bestimmen den Winkel wischen den Vektoren

Question

Die Vektoren u und v schließen den Winkel  \( \varphi \)  ein:

\( \|u\|=\sqrt{3}, \quad\|v\|=1, \quad \varphi=\frac{\pi}{6} \)

Bestimmen den Winkel α zwischen den vektoren:

\( a=u+v \)

Warum soll ich hier einen Winkel bestimmen, wenn ich doch einen Winkel gegeben habe, oder wie kann ich mir das hier vorstellen?

a ist ja Wurzel 3 + 1 Also = 1+ Wurzel 3

Comments

Bestimmen den Winkel α zwischen den vektoren: \( a=u+v \)

Das ist ein Vektor.

Um den Winkel zwischen Vektoren bestimmen zu können benötigst du mindestens zwei Vektoren.

Was ist der zweite Vektor?

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Hier:

\( a=u+v \quad \) und \( \quad b=u-v \)

Ich dachte es handelt sich zwei Aufgaben, sorry.

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Und den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren sollst du bestimmen.

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Ja genau, nur wir haben ja keine Vektoren gegeben? Sondern nur die Längen. Und warum haben wir 6/pi gegeben. Also brauchen wir das?

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Moment...

Wir haben die Länge Wurzel 3 und 1 gegeben. Und zwischen diesen Längen ist der Winkel 6/pi.

Und anhand von der Info suchen wir die Vektoren u und v um sie dann in die Gleichungen einzusetzen und um den Winkel von a und b zu bestimmen?

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Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen den Winkel α zwischen den Vektoren a und b

Stichworte: vektoren

ich habe die Frage heute Mittag schon einmal Gestell. Habe es allerdings nicht verstanden. Kann mir jemand erklären, wie ich hier drauf komme? Ich finde leider Keine Infos. Ich habe hier das Buch von Hannes Stoppel "Lineare Algebra" und viele Beiträge im Internet durchforstet. Leider finde ich da keinen Ansatz.

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand, der weiß, wie man diese Aufgabe löst, mir den Lösungsweg beschreibt.

Die Vektoren u und v schließen den Winkel  \( \varphi \)  ein:

\( \|u\|=\sqrt{3}, \quad\|v\|=1, \quad \varphi=\frac{\pi}{6} \)

Bestimmen den Winkel α zwischen den Vektoren:

\( a=u+v \quad \) und \( \quad b=u-v \)

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Wenn mir jemand den Lösungsweg beschreiben kann, würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

a u und v sind vektoren und keine Einfachen Zahlen.

Nach "Bestimme den Winkel zwischen den Vektoren" müssen eigentlich mind. 2 Vektoren gegeben sein. ich kann hier nur a erkennen.

Bitte fragen immer vollständig stellen. Am besten immer mit einem Photo.

Comments

Hier:

\( a=u+v \quad \) und \( \quad b=u-v \)

Ich dachte es handelt sich zwei Aufgaben, sorry.

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Du könntest als erstes dir zwei Vektoren u und v definieren und es einfach mal knallhart und mühsam durchrechnen. Ein guter Taschenrechner hilft dabei enorm.

Der Winkel beträgt 0.7137 = 40.89°

Dann könntest du dir das mal Skizzieren und überlegen, um was es da eigentlich geht. Es geht ja eigentlich um den Schnittwinkel der Diagonalen eines Paralellograms.

Dann könntest du in einem zweiten Schritt überlegen wie du den Winkel noch geschickter hättest berechnen können. Du solltest natürlich auf die Gleiche Lösung wie im ersten fall kommen.

Du könntest es aber auch zu guter letzt einfach mal skizzieren. Dann kannst du den Winkel nachmessen und auch an der Skizze eine bessere Berechnung überlegen.

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Wie definiere ich einen Vektor, wenn ich nur die Länge gegeben habe?

Da kommen doch keine Runden zahlen.

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Im Zweifel [√3, 0]. Natürlich sind das keine runden Zahlen. Das verlangt ja auch keiner.

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Dann kann ich einfach sagen, dass der Vektor v= (1|0) ist und u= (√3|0) ?

Dann müsste ich das ja nur in a = u+ v und b = u- v einsetzen, die beiden Vektoren bestimmen und dann die Formel nutzen:

\( \cos \alpha=\frac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|} \)

Warum wurde uns dann der Winkel pi/6 gegeben?

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Dann kann ich einfach sagen, dass der Vektor v= (1|0) ist und u= (√3|0) ?

Natürlich nicht, weil sie dann keinen Winkel von pi/6 einschließen würden. Das sollte dir aber klar sein oder nicht?

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So wäre das dann ja:

Aber wie kann ich aus dieser "groben" Zeichnung zwei Vektoren machen?

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Wie bist du auf die Lösung gekommen?

ich schaffe es nicht

Answer 2

nur wir haben ja keine Vektoren gegeben?

Viel schlimmer noch, wir haben noch nicht ein mal ein Koordinatensystem gegeben.

Wenn man mal genau darüber nachdenkt, ist das aber dann doch nicht so schlimm. Wir können dann nämlich selbst ein Koordinatensystem festlegen.

Der Einfachheit halber nehmen wir ein zweidimensionales, in dem \(v\) der Ortsvektor des Punktes (1 | 0) ist.

Damit können wir dann berechnen, welche Punkte die Ortsvektoren \(w\), \(a\) und \(b\) haben.

Comments

Also ist unser Vektor v ( 1 | 0) ?

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Es ist

        \(\cos \varphi = \frac{uv}{|u|\cdot |v|}\).

Dabei ist

• \(\varphi = \frac{\pi}{6}\),
• \(|v|=1\),
• \(|u| = \sqrt{3}\),
• \(v=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) und
• \(u = \begin{pmatrix}u_x\\u_y\end{pmatrix}\).

Setze ein und du erhältst eine Gleichung mit zwei Unbekannten, \(u_x\) und \(u_y\).

Außerdem ist \(|u| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}\), also

        \(\sqrt{3} = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}\).

Jetzt hast du eine zweite Gleichung mit den Unbekannten \(u_x\) und \(u_y\).

Löse dieses Gleichungssystem. Dann kennst du \(u\) und kannst damit \(u+v\) und \(u-v\) berechnen und anschließend den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren bestimmen.

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Warum setzt du für Ux nicht \( \sqrt{3} \) ein?

Wir können das Gleichungssystem nicht lösen, weil auch der rechten Seite vom Gleichheitszeichen alles gleicht ist. Wenn Wir erste Gleichung minus zweite Gleichung machen, fällt doch der Rechte Teile des LGS weg?

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Warum setzt du für Ux nicht \( \sqrt{3} \)

Das dürfte man nur dann machen, wenn \(u_x = \sqrt{3}\) ist. Es ist nicht bewiesen, dass \(u_x = \sqrt{3}\) ist. Also darf man für \(u_x\) nicht \(\sqrt{3}\) einsetzen.

Wir können das Gleichungssystem nicht lösen.

Eine Gleichung nach einer Variable auflösen. In die andere Gleichung einsetzen. Die dadurch entstandene Gleichung nach der anderen Variablen auflösen. In die umgeformte erste Gleichung einsetzen.

Welcher dieser Schritte bereitet euch Probleme? Wie sieht eure erste Gleichung aus.

Answer 3

Dann brauchst du das Skalarprodukt von

a und b das ist (u+v)*(u-v) = u*u + v*u - v*u -v*v

=  ||u||^2 - ||v||^2 = 3 - 1 = 2

Und dann gilt ja a*b = ||a|| * ||b|| * cos(ß) wobei

ß der Winkel zwischen a und b ist

||a|| =  √(a*a)

also a*a ausrechnen = (u+v)*(u+v) = u*u + 2*u*v + v*v

                                                    = 3 +2*u*v + 1

Fehler! siehe Kommentar !

Und u*v bekommst du über ||u|| * ||v|| * cos(pi/6)= 3 * 1 * √3  / 2 = 1,5*√3

also a*a = 4 + 3√3   ==>  ||a|| = √ ( 4 + 3√3 )

entsprechend b*b =  (u-v)*(u-v) = u*u - 2*u*v + v*v
                                                      = 3 -2*u*v + 1 = 4 -  3√3

also ||b|| = √ ( 4 - 3√3 )

aus 2 =  ||a|| * ||b|| * cos(ß) wird dann

2 = √ ( 4 + 3√3 )*√ ( 4 - 3√3 ) *cos(ß)

Comments

Hallo mathef,

bei u*v hast du die Wurzel vergessen.

Und u*v bekommst du über ||u|| * ||v|| * cos(pi/6)= √3 * 1 * √3  / 2 = 1,5

also a*a = 4 + 3=7  ==>  ||a|| = √ (7)

entsprechend b*b =  (u-v)*(u-v) = u*u - 2*u*v + v*v
                                                    = 3 -2*u*v + 1 = 4 - 3=1

also ||b|| = √ ( 1 )=1

aus 2 =  ||a|| * ||b|| * cos(ß) wird dann

2 = √ (7) *cos(ß)

β=arccos(2/√7)

β≈40.89339465°

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Danke, korrigiere ich.

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Du kannst es ja aus meinem Kommentar kopieren.

:-)