Überprüfen Sie, ob Folge (an) mit .. alternierend ist. Zusätzlich auf Monotonie und Beschränktheit untersuchen

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie, ob die Folge \( \left(a_{n}\right) \) mit

$$ a_{n}=-\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}+2 n}, \quad n=1,2,3 \ldots $$

alternierend ist. Untersuchen Sie zusätzlich die Folge auf Monotonie sowie Beschränktheit.

Answer 1

Alternierend ist die Folge wegen dem Faktor \( (-1)^n \) und deshalb kann sie schon nicht monoton sein. Und da der Nenner gegen \( \infty \) geht, ist der Grenzwert \( 0 \)

Answer 2

Das erste Folgenglied (-4/3) ist das kleinste und das zweite Folgenglied (1/2) ist das größte. Also beschränkt.

Answer 3

$$a_{n}=-\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}+2 n}$$ $$\quad n=1,2,3 \ldots$$
Obere Grenze:

$$a_{1}=-\frac{4(-1)^{1}}{1^{2}+2*1}= \frac{4}{3}$$

Untere Grenze:

$$a_{2}=-\frac{4(-1)^{2}}{2^{2}+2*2}= -\frac{1}{2}$$

Die Folge alterniert und ist deshalb nicht monoton, aber für ungerade n und für gerade n gibt es monotone Teilfolgen.

$$a_{n}=-\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}+2 n} →0$$