Der Kathetensatz: Beweis mit Pythagoras

Question

Aufgabe:

Der Kathetensatz: Beweis mit Pythagoras

Problem/Ansatz:

Mithilfe des Satzes von Pythagoras lässt sich der Kathetensatz beweisen,

Was wurde in den einzelnen Schritten gemacht bzw. was ist die Begründung für diese Schritte?

(Ich weiß, dass in den ersten beiden Schritten der Satz des Pythagoras aufgeschrieben wurde)

Es gilt:

(1)b^2=q^2+h^2

(2)a^2=p^2+h^2

(3)a^2-b^2=p^2-q^2=(p+q)(p-q)

(4)a^2+b^2=c^2=(p+q)^2

(5)2a^2=(p+q)(p-q)+(p+q)^2

 =(p+q)((p-q)+(p+q))

 =2pc

Also a^2=pc

!

Answer 1

(1)b2=q2+h2  Pythagoras im Teildreieck mit der Höhe

(2)a2=p2+h2Pythagoras im anderen Teildreieck mit der Höhe

(3)a2-b2= einsetzen von 1 und 2

          =  p2+h2 - (q2+h2  )   Klammer auflösen

           =p2-q2=(p+q)(p-q)     #  (3. binomische Formel)

(4)a2+b2=c2=(p+q)2 ## Pythagoras im ganzen Dreieck
                                  und c durch p+q ersetzen

(5)2a2= a^2 -b^2       + a^2 + b^2 dann # und ## einsetzen
           =(p+q)(p-q)   +(p+q)^2   hier  (p+q) ausklammern

             =(p+q)((p-q)+(p+q))

             = (p+q) * 2p

             = c*2p =2pc

Also sagt (5)   2a^2=2 pc  | : 2    
                          a^2 = pc

Answer 2

(2)-(1) → (3)

(3)+(4) → (5)

:-)