Aus dem Bereich Kathetensatz/Höhensatz/Satz Pythagoras

Question

Aufgabe:

In einem Rechteck mit den Seitenlängen a und b ist eine Diagonale AC eingezeichnet. Helga konstruiert eine Strecke h, die normal auf die Diagonale steht und durch den Eckpunkt D geht. Dadurch wird die Diagonale in die Abschnitte d1 und d2 unterteilt. Berechne die Seitenlängen des Rechtecks.

Gegeben:

d2=28 cm

b= 35cm (b>a)

Problem/Ansatz:

Ich finde keine Möglichkeit b und d2 in Bezug zueinander zu setzen um so auf die fehlende Seite des Rechtecks zu kommen.

Comments

Die Aufgabe ist widersprüchlich. Sei \(E\) neben \(D\) der zweite Endpunkt der Strecke \(h\), so könnte man aus folgender Formulierung schließen ...

... eine Diagonale AC ... wird die Diagonale in die Abschnitte d1 und d2 unterteilt.

... dass \(|AE|=d_1\) und \(|EC|=d_2\) ist. Dies steht aber im Widerspruch zu

b= 35cm (b>a)

aus \(b \gt a\)  folgt, dass $$|AE| \gt |EC| \\\implies |EC| \lt \frac{1}{2}|AC| = \frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2} \lt \frac{1}{2}\sqrt{2} b \approx 24,7$$Mit \(d_2 = 28\) kann dann nicht \(|EC|=d_2\) sein!?
Gibt es zu der Aufgabe eine Zeichnung?

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Nein, es gibt eben leider keine Zeichnung. Das war ja mein Problem: ich hatte angenommen, dass das Rechteck wie immer beschriftet wäre und somit d2 in dem einen ähnlichen Dreieck liegt und b im anderen.

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ich hatte angenommen, dass das Rechteck wie immer beschriftet wäre

wenn nichts weiter angegeben ist, sollte man immer davon ausgehen. D.h.\(|AC|=a=|BD|\) und \(|BC|=b=|DA|\). Die Frage ist nur: wo genau ist \(d_2\)?

Sollte \(d_2=|AE|\) sein, so ist \(a=26,25\) und somit ist \(b\gt a\). Das kann man genauso mit dem Kathetensatz im Dreieck \(\triangle ACD\) berechnen. $$|DA|^2=b^2 = |AE|\cdot |AC| = d_2\sqrt{a^2+b^2}$$Siehe auch die Antwort vom Mathecoach; nur seine Skizze passt nicht dazu!

Die Frage ist inzwischen mehr als 4 Tage alt, was sagt denn Deine Lehrkraft zur Aufgabe?

Answer 1

\(28^2+h^2=c^2\)        \(h^2+d_1^2=35^2\)→    \(h^2=35^2-d_1^2\)

\(28^2+35^2-d_1^2=c^2\)            \((d_1+28)^2=35^2+c^2\)

\((d_1+28)^2=35^2+28^2+35^2-d_1^2\)

Nun weiter...

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In \((d_1+28)^2=35+c^2\) und im folgenden fehlt ein \(^2\).

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Danke dir für den Hinweis.

Answer 2

h^2 + 28^2 = 35^2 --> h = 21

d1 * 28 = 21^2 --> d1 = 15.75

21^2 + 15.75^2 = a^2 --> a = 26.25

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Die Punkte des Rechtecks sind falsch beschriftet.

Answer 3

Anderer Weg:

Die Teildreiecke AED und CDE sind ähnlich mit

\( \frac{h}{28}=\frac{\sqrt{35^2-h^2}}{h} \)

\( \frac{h^2}{28^2}=\frac{35^2-h^2}{h^2} \)

\((h^2)^2 +28^2(h^2)-(28\cdot35)^2=0\)

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Anderer Weg:

Kathetensatz steht in der Überschrift. Man spiegele zunächst den Punkt \(E\) am Mittelpunkt der Diagonale \(AC\) zu \(E'\).

Dann ist \(|AE'| =|EC|= d_2\) und \(E'B\) ist die Höhe im Dreieck \(\triangle ABC\) über \(AC\) und daraus folgt nach dem Kathetensatz:$$a^2 = d_2\sqrt{a^2+b^2} \\ \implies a=\sqrt{\frac{d_2^2}{2} +d_2\sqrt{\frac{d_2^2}{4} + b^2} } \approx 38,05$$