Aufgabe:
Sei (xn)n∈N ⊂ IR eine reelle Folge. Wir führen ein
H := {x ∈ IR ∪ {±∞} | x ∈ IR ist ein Häufungspunkt der Folge (xn)n∈N,
oder x ∈ {±∞} und es gibt eine Teilfolge von (xn)n∈N, welche gegen x bestimmt divergiert.}
Beweisen Sie folgende Aussagen.
i) Falls H = {±∞}, dann gilt limn→∞ |xn| = ∞.
ii) Falls H ∩ IR ≠ ∅, dann gilt
sup(H) = infj∈Nsupn≥jxn =: limn→∞ sup xn ∈ IR ∪ {∞}
und
inf(H) = supj∈Ninfn≥jxn =: limn→∞ inf xn ∈ IR ∪ {−∞}.
Ferner ist (xn)n∈N genau dann konvergent oder bestimmt gegen ±∞ divergent, wenn
limn→∞ sup xn = limn→∞ inf xn.
Problem/Ansatz:
Ich habe noch weitere ähnliche Aufgaben und dieses mal kann ich wirklich einfach keinen Ansatz finden, ich hoffe jemand kann mir eine einfache Lösung oder einen Weg zeigen sodass ich es verstehen und auf die anderen Aufgaben anwenden kann.
:)
MfG Malte
