Aufgabe
Hey Leute,
Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe und die Abgabe ist morgen. Könnte mir da jemand helfen? :)
Problem/
Text erkannt:
Aufgabe 1 Folgen
\( (1+1+1+1 \) Punkte)
Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge in \( \mathbf{Q} \) und \( a, b \in \mathbf{Q} \).
(a) Betrachten Sie eine Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \), welche sowohl gegen \( a \), als auch gegen \( b \) konvergiert. Das heißt, für beliebiges \( \varepsilon>0 \) existieren \( n_{0} \in \mathbb{N} \) und \( n_{1} \in \mathbb{N} \), sodass
\( \left|a_{n}-a\right|<\varepsilon \quad \text { für alle } n \geq n_{0} \quad \text { und } \quad\left|a_{n}-b\right|<\varepsilon \quad \text { für alle } n \geq n_{1} . \)
Zeigen Sie, dass dann \( a=b \) gilt.
(b) Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiere gegen \( a \). Zeigen Sie, dass jede Teilfolge von \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) gegen \( a \) konvergiert.
(c) Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) gegen \( a \) konvergiert, genau dann wenn die Folge \( \left(a_{n}-a\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Nullfolge ist.
(d) Zeigen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Jede Cauchy-Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( a_{n} \in \mathbb{Z} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) konvergiert gegen ein \( a \in \mathbb{Z} \).
