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Hab hier eine Aufgabe und wollte fragen,ob immerhin mein Ansatz richtig ist:

Also es soll (xn)n∈ℕ eine Folge reeller Zahlen sein. Und ich soll nun beweisen, dass die Aussagen 1-3 äquivalent zueinander sind.

1. (xn)n∈ℕ konvergiert gegen den Grenzwert x = 0.

2. ( ΙxnΙ )n∈ℕ konvergiert gegen den Grenzwert x = 0. 

3. ( x2n)n∈ℕ konvergiert gegen den Grenzwert x = 0.

Man muss dazu einfach die Implikationskette 1 -> 2 -> 3 -> 1 zeigen.

Und mein Ansatz für 1 -> 2 ist folgendes:

Seien  m ∈ ℕ und ∀n ≥ m
Es gelte: 1. = 2. und xn -> x ⇒  ΙxnΙ -> x ( n -> ∞ )

Der Beweisansatz von mir sieht so aus:

Sei ε > 0
-> ∃ n0 ∈ ℕ ∀ n ≥ n0   Ι xn - x Ι < ε   ... Der Zusammenhang hierbei ist, dass sowohl die 0, als auch alles von ''∃ bis zum Betrag'' kleiner als Epsilon sei. Somit kann man doch sagen, dass alles von ''∃ bis zum Betrag''  in der Nähe der 0 liegen müsste bzw. im ''Umfeld''.

Man setze: m := max { n0, m }

Sei   n > n1 > n0 , m

Ι ΙxnΙ - x Ι = Ι xn - x Ι < ε 

Was fehlt mir bzw. was muss ich überarbeiten?
Danke für schnelle Antworten!
Schönen Gruß! :)

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Kleiner Tipp am Rande: Bei der Ungleichung \(|x_n| < \varepsilon \) spielt es keine Rolle, ob auf der linken Seite ein Satz Betragsstriche oder eine Millionen da stehen.

1 Antwort

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Sei ε > 0  -> ∃ n0 ∈ ℕ ∀ n ≥ n0   Ι xn - x Ι < ε 

Du weisst doch x=0 also 

Ι xn - x Ι < ε 

⇔  Ι x Ι < ε    (s. Kommentar)


⇔ | Ι x Ι | < ε 


⇔ | Ι x Ι  -  0  | < ε 

also |xn| geht gegen 0.

bei (ii) ⇒ (iii)

Sei ε > 0  -> ∃ n0 ∈ ℕ ∀ n ≥ n0   Ι |xn| - x Ι < ε wegen x=0

⇔  Ι |xn|  Ι < ε

⇔   |xn|   < ε    und wenn man von eps<1 ausgehen darf

⇔   |xn|^2   < ε

⇔   |xn^2 |  < ε

⇔   |xn^2  -  0 |  < ε    also geht auch xn^2 gegen 0

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