! :)
Hab hier eine Aufgabe und wollte fragen,ob immerhin mein Ansatz richtig ist:
Also es soll (xn)n∈ℕ eine Folge reeller Zahlen sein. Und ich soll nun beweisen, dass die Aussagen 1-3 äquivalent zueinander sind.
1. (xn)n∈ℕ konvergiert gegen den Grenzwert x = 0.
2. ( ΙxnΙ )n∈ℕ konvergiert gegen den Grenzwert x = 0.
3. ( x2n)n∈ℕ konvergiert gegen den Grenzwert x = 0.
Man muss dazu einfach die Implikationskette 1 -> 2 -> 3 -> 1 zeigen.
Und mein Ansatz für 1 -> 2 ist folgendes:
Seien m ∈ ℕ und ∀n ≥ m
Es gelte: 1. = 2. und xn -> x ⇒ ΙxnΙ -> x ( n -> ∞ )
Der Beweisansatz von mir sieht so aus:
Sei ε > 0
-> ∃ n0 ∈ ℕ ∀ n ≥ n0 Ι xn - x Ι < ε ... Der Zusammenhang hierbei ist, dass sowohl die 0, als auch alles von ''∃ bis zum Betrag'' kleiner als Epsilon sei. Somit kann man doch sagen, dass alles von ''∃ bis zum Betrag'' in der Nähe der 0 liegen müsste bzw. im ''Umfeld''.
Man setze: m := max { n0, m }
Sei n > n1 > n0 , m
Ι ΙxnΙ - x Ι = Ι xn - x Ι < ε
Was fehlt mir bzw. was muss ich überarbeiten?
Danke für schnelle Antworten!
Schönen Gruß! :)