Konvergenz-Grenzwert Analysis Aufgabe

Question

! :)

Hab hier eine Aufgabe und wollte fragen,ob immerhin mein Ansatz richtig ist:

Also es soll (x_n)n∈ℕ eine Folge reeller Zahlen sein. Und ich soll nun beweisen, dass die Aussagen 1-3 äquivalent zueinander sind.

1. (x_n)n∈ℕ konvergiert gegen den Grenzwert x = 0.

2. ( Ιx_nΙ )n∈ℕ konvergiert gegen den Grenzwert x = 0. 

3. ( x²_n)n∈ℕ konvergiert gegen den Grenzwert x = 0.

Man muss dazu einfach die Implikationskette 1 -> 2 -> 3 -> 1 zeigen.

Und mein Ansatz für 1 -> 2 ist folgendes:

Seien  m ∈ ℕ und ∀n ≥ m
Es gelte: 1. = 2. und x_n -> x ⇒  Ιx_nΙ -> x ( n -> ∞ )

Der Beweisansatz von mir sieht so aus:

Sei ε > 0
-> ∃ n0 ∈ ℕ ∀ n ≥ n0   Ι x_n - x Ι < ε   ... Der Zusammenhang hierbei ist, dass sowohl die 0, als auch alles von ''∃ bis zum Betrag'' kleiner als Epsilon sei. Somit kann man doch sagen, dass alles von ''∃ bis zum Betrag''  in der Nähe der 0 liegen müsste bzw. im ''Umfeld''.

Man setze: m := max { n0, m }

Sei   n > n1 > n0 , m

Ι Ιx_nΙ - x Ι = Ι x_n - x Ι < ε 

Was fehlt mir bzw. was muss ich überarbeiten?
Danke für schnelle Antworten!
Schönen Gruß! :)

Comments

Kleiner Tipp am Rande: Bei der Ungleichung \(|x_n| < \varepsilon \) spielt es keine Rolle, ob auf der linken Seite ein Satz Betragsstriche oder eine Millionen da stehen.

Answer 1

Sei ε > 0  -> ∃ n0 ∈ ℕ ∀ n ≥ n0   Ι x_n - x Ι < ε 

Du weisst doch x=0 also 

Ι x_n - x Ι < ε 

⇔  Ι x_n  Ι < ε    (s. Kommentar)

⇔ | Ι x_n  Ι | < ε 

⇔ | Ι x_n  Ι  -  0  | < ε 

also |xn| geht gegen 0.

bei (ii) ⇒ (iii)

Sei ε > 0  -> ∃ n0 ∈ ℕ ∀ n ≥ n0   Ι |x_n| - x Ι < ε wegen x=0

⇔  Ι |x_n|  Ι < ε

⇔   |x_n|   < ε    und wenn man von eps<1 ausgehen darf

⇔   |x_n|^2   < ε

⇔   |x_n^2 |  < ε

⇔   |x_n^2  -  0 |  < ε    also geht auch x_n^2 gegen 0