Zeigen Sie, dass e0=E_n ist

Question

Aufgabe:

0 ist die komplexe (nxn)-Nullmatrix

e^A = $\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{A^k}{k!}}$

Zeigen Sie, dass e⁰=E_n ist

Problem/Ansatz:

ich habe einfach mal die Nullmatrix für A eingesetzt, aber dann steht da: $\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{0^k}{k!}}$ und müsste das nicht Null sein anstatt E_n?

e^0= $\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{0^k}{k!}}$

= $\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{0}{k!}}$ (weil 0^k=0 ist)

= 0*$\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}$

=0*e

=0

Hat jemand einen Tipp oder sieht wo ich mich verrechnet habe?

Answer 1

Hallo,

e^A := E_n + A + A² /2! +...

e⁰ = E_n

Bei der Summenschreibweise ist zu beachten, dass 0⁰ := 1 (also hier die Einheitsmatrix) bei Potenzreihen definiert wird.

Answer 2

Das sind wir wieder beim Problem, dass 0⁰ nicht definiert ist bzw. als 1 "definiert" wird.