Die Menge aller endlichen Teilmengen von N ist abzählbar.

Question

Aufgabe:

Die Menge aller endlichen Teilmengen von N(natürlichen Zahlen) ist abzählbar.

Problem/Ansatz:

N ist abzählbar, wie kann ich die endliche teilmenge darstellen? Denn dann könnte ich sie vereinigen und da (glaube ich) die endliche teilmenge dann auch abzählbar ist, ist die vereinigung abzählbar.

Answer 1

Ich kenne diesen Beweis:

Bekanntlich gibt es ja unendlich viele Primzahlen

p1,p2,p3,...,

Sei E die Menge aller endlichen Teilmengen von N .

Betrachte nun die Abbildung f : E  → N

die jeder dieser endlichen Teilmengen eine nat. Zahl zuordnet

und zwar, wenn X={x1,...,xn} die endliche Teilmenge ist, dann

ist f(X) = p_x1*p_x2*...*p_xn . Wegen der Eindeutigkeit der

Primfaktorzerlegung ist dies Abbildung injektiv, also E

höchstens abzählbar. Endlich ist E aber sicher nicht, da

es schon allein unendlich viele einelementige Mengen

in E gibt.