Wie rechnet man diese Matrix?

Question

A= \( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \)

B= \( \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)

Weiß jemand wie man AT × BT macht, weil die Zeilen und Spalten ja nicht gleich viel sind?

Answer 1

Aloha :)

$$A=\left(\begin{array}{rr}2 & 0\\1 & 1\\3 & 0\end{array}\right)\quad;\quad A^T=\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3\\0 & 1 & 0\end{array}\right)$$$$B=\left(\begin{array}{rr}3 & 1\\1 & 2\\1 & 2\end{array}\right)\quad;\quad B^T=\left(\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1\\1 & 2 & 2\end{array}\right)$$

Du kannst dir bei Matrizen vorstellen, dass oben die "Eingänge" und links die "Ausgänge" sind. Die Matrix \(A\) hat zwei "Eingänge". Die Matrix "B" hat drei Ausgänge. Das passt nicht zusammen. Die Matrix \(A^T\) hat drei "Eingänge", passt also mit den drei "Ausgängen" von \(B\) zusammen, daher ist \(A^T\cdot B\) definiert. Die Matrix \(B^T\) hat zwei Ausgänge, das passt mit den zwei Eingängen der Matrix \(A\) zusammen, daher ist auch \(A\cdot B^T\) definiert. Die Multiplikation \(A^T\cdot B^T\) ist nicht zulässig, weil \(A^T\) drei "Eingänge" hat, aber \(B^T\) nur zwei "Ausgänge".

$$A^T\cdot B=\left(\begin{array}{rr}10 & 10\\1 & 2\end{array}\right)\quad;\quad A\cdot B^T=\left(\begin{array}{rrr}6 & 2 & 2\\4 & 3 & 3\\9 & 3 & 3\end{array}\right)$$