Question

Wie berechnet man die Determinante dieser Matrix mit Hilfe von Blockmatrizen?

0	-1	0	-6	0
1	0	0	2	0
0	0	6	2	0
0	0	1	-1	0
-6	5	-4	3	2

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom=\left|\begin{array}{rrrrr}0 & -1 & 0 & -6 & 0\\1 & 0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 6 & 2 & 0\\0 & 0 & 1 & -1 & 0\\-6 & 5 & -4 & 3 & \pink2\end{array}\right|=\pink2\cdot\left|\begin{array}{rr|rr}0 & -1 & 0 & -6\\1 & 0 & 0 & 2\\\hline\blue0 & \blue0 & 6 & 2\\\blue0 & \blue0 & 1 & -1\end{array}\right|=2\cdot\left|\begin{array}{rr}0 & -1\\1 & 0\end{array}\right|\cdot\left|\begin{array}{rr}6 & 2\\1 & -1\end{array}\right|$$$$=2\cdot1\cdot(-8)=-16$$

Answer 2

Ich sehe da keine für die Aufgabe passende Blockung mit "echten" Blöcken, die ohne 1x1-Blöcke auskommt. Aber man kann wunderbar nach Spalten entwickeln:

In der Reihenfolge 5., 1. , 2. Spalte erhältst du

\(2 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 6 & 2 \\1 & -1 \end{pmatrix} = -16\)

Du kannst z. Bsp. auch durch geeignete Spalten- und Zeilenvertauschungen eine echte Blockmatrix ohne 1x1-Blöcke herstellen: Zeile 1 mit Zeile 5 tauschen, dann Spalte 2 mit Spalte 5. So bekommst du einen 3x2-Block mit Nullen links unten.

Nachtrag zum Kommentar:
Für eine Blockung einschließlich eines 1x1-Block, siehe Arsinoé4s Kommentar. Das ist wahrscheinlich die beabsichtigte Lösung.

Comments

Da ist nichts geblockt.

Wäre denn \(\det\!\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\det\!\begin{pmatrix}6&2\\1&-1\end{pmatrix}\cdot2=1\cdot(-8)\cdot2=-16\) falsch?

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@Arsinoé4
Hast du gut gesehen. Diese "Blockung" hab ich nicht mit in Betracht gezogen, da ich nach größeren Blöcken Ausschau gehalten habe, ohne 1x1-Blöcke mit einzubeziehen.

Schreib doch eine eigene Lösung.