Gibt es Werte, für die diese Matrix vollen Rang hat? Wenn ja welche?
Gegeben ist die Aufgabe im Anhang. Ich denke es wäre kaum möglich zu prüfen, für welche Werte von r die Determinante null wird. Dafür werden die Rechnungen viel zu lang und kompliziert. Wenn man es über ein LGS löst, würde das LGS ähnlich kompliziert werden. Gibt es einen Weg, mit dem man das r herausfinden kann, der von Hand machbar ist? Kann man vielleicht von oben links eine 3x3 Matrix herausschneiden und eine Lösung bestimmen, die für die ganze Matrix gilt?
Freundliche Grüße
Text erkannt:
Gegeben sei die folgende Matrix \( A_{r} \in \mathbb{R}^{39 \times 39} \);
$$ A_{r}:=\left(\begin{array}{ccccccc} 2+4 !+r^{2} & 2 r & -1 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\ 2^{5} & 2+5 !+r^{2} & -2 r & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 2^{6} & 2+6 !+r^{2} & 2 r & -1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & 2^{40} & 2+40 !+r^{2} & 2 r & -1 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 2^{41} & 2+41 !+r^{2} & -2 r \\ 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 & 2^{42} & 2+42 !+r^{2} \end{array}\right) . $$
Gibt es Werte \( r \in \mathbb{R}, \) für welche diese Matrix \( A_{r} \) vollen Rang hat? Wenn ja, welche? Hinweis: Zeigen Sie, falls nötig, zuerst \( \left|\left(A_{r} x\right)_{j}\right| \geqq\left|a_{j, j} x_{j}\right|-\left|\sum \limits_{k=1 \atop k \neq j}^{n} a_{j, k} x_{k}\right| \) für geeignete
