Rang einer Matrix berechnen, Pseudoinverse

Question

Aufgabe:

A= ^[u          V]       (Soll eine matrix sein) 

     1          1

   - 1         - 1

b= [1]

    0

    1

(Soll alles in der klammer untereinander sein) 

1.Bestimmen Sie den Rang von A ein Abhängigkeit von u und v.

2. Seien nun u=1, v = 0. Berechnen Sie A+b.

(+ soll für das Zeichen der Pseudo-Inverse stehen, ich habe das nicht gefunden)

Problem/Ansatz:

Hey, vielleicht könnt ihr mir hier helfen. Ich weiß, dass der Rang von = dim Bild(A) ist und das man dafür gucken muss, wie viele lineare unabhängige Vektoren es gibt. Da die Vektoren hier ja gleich sind, bis auf u und v, hätte ich jetzt gesagt, dass der Rang eins ist wenn u&v linear abhängig sind und wenn sie linear unabhängig sind, ist der Rang zwei. Aber ich kann mir nicht vorstellen, dass das richtig ist und weiß auch nicht, wie man das ansonsten berechnet.

Und bei der zweiten Aufgabe weiß ich nicht genau, wie man die Pseudoinverse berechnet. Weil bisher war die Pseudoinverse immer gegeben.

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe, ich hoffe wirklich, dass mir hier jemand weiterhelfen kann.

Comments

Da die Vektoren hier ja gleich sind, bis auf u und v, ???

hätte ich jetzt gesagt, dass der Rang eins ist wenn u&v linear abhängig sind und wenn sie linear unabhängig sind, ist der Rang zwei. ✓

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wo ist hier denn dein u und v?

lul

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U und V sind in der ersten Zeile der matrix. Konnte das nicht so gut schreiben hier.

Answer 1

Also sieht das wohl so aus   \(  \begin{pmatrix} u & v \\ 1 & 1\\-1 & -1 \end{pmatrix} \)

Dann hast du Rang=1 genau dann, wenn u=v

und ansonsten Rang = 2.

Und es ist ja wohl A⁺ = (A^T * A ) ^-1 * A^T  

Für u=1, v = 0 also

\( A^+= ( \begin{pmatrix} 1 & 1& -1\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1\\-1 & -1 \end{pmatrix} )^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1& -1\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \)

\( =  \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} ^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1& -1\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \)

\( =  \begin{pmatrix} 1 &  -1\\  -1 & 1,5 \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 1 & 1& -1\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 &-2,5 \\ -1 & 0,5 & 3,25 \end{pmatrix}   \)

==>   \( A^+   \cdot \begin{pmatrix} 1  \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1,5 \\ 2,25 \end{pmatrix} \)

Comments

Hi, vielen Dank erstmal!

Ich habe nur noch kurz eine Frage wie kommst du auf die matrixinverse von der Matrix (also auf die (1 - 1

           - 1   1,5)?)

Ich habe da (1,5   - 0,5

                     0,5       1) raus

Danke schonmal und berechnet man so also die Pseudoinverse?

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berechnet man so also die Pseudoinverse?

siehe auch:

https://de.wikipedia.org/wiki/Pseudoinverse#Spezialf%C3%A4lle

Und zur Inversen : simultane Zeilenumformungen:

\( \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 1 & 0\\0&1 \end{pmatrix} \)

2. Zeile mal 1,5

\( \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 1 & 0\\0&1,5 \end{pmatrix} \)

2. Zeile minus 1.Zeile

\( \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 1 & 0\\-1&1,5 \end{pmatrix} \)

1. Zeile minus 2* 2. Zeile

\( \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 3 &-3\\-1&1,5 \end{pmatrix} \)

1.Zeile durch 3 gibt das Ergebnis.