Welche der folgenden Relationen R ⊆ A x B ist eine Funktion A → B?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Relationen R ⊆ A x B ist eine Funktion A → B? Stellen Sie
gegebenenfalls fest, ob sie injektiv, surjektiv, oder bijektiv ist.

(a) A = B = {0; 1; 2; 3; 4} und R = {(i; j) ∈ A x B | i = j^2}.
(b) A = B = {0; 1; 2; 3; 4} und R = {(i; j) ∈ A x B | i = i*j }.
(c) A = B = {0;2; 2;4; 4} und R = {(i; j) ∈ A x B | i = j^2 }.
(d) A = {0; 1; 4}, B = {0; 2; 1} und R = {(i; j) ∈ A x B | i = j^2 }.
(e) A = B = {0; 1; 2; 3; 4} und R = {(i; j) ∈ A x B | j = i*j }.
(f) A = B = {1; 2; 3; 4} und R = {(i; j) ∈ A x B | i = i*j }.

Problem/Ansatz:

ich verstehe das Prinzip, aber irgendwie kann ich nicht Funktionen von nicht Funktionen in diesem Fall unterscheiden. Diese A=B ist sehr verwirrend...

Answer 1

Hallo Felix,

(a) A = B = {0, 1, 2, 3, 4} und R = { (i, j) ∈ A × B | i = j² }.

R = { (0,0) , ((1,1) , (4,2) }  ist keine Funktion  A→B,

weil nicht jedem Element x∈A mindestens ein y∈B zugeordnet wird.

(b) A = B = {0; 1; 2; 3; 4} und R = {(i; j) ∈ A x B | i = i*j }.

R = { (0,1) , (0,2) , (0,3) , (0,4) , (1,1) , (2,1) , (3,1) , (4,1) }  ist keine Funktion von A→B,

weil nicht jedem Element x∈A höchstens ein y∈B zugeordnet wird.

(d) A = {0; 1; 4}, B = {0; 2; 1} und R = {(i; j) ∈ A x B | i = j² }

R ={ (0,0) , (1,1) , (4,2) }  ist eine Funktion A→B

weil jedem Element x∈A genau ein Element y∈B zugeordnet wird.

R ist injektiv, weil je zwei verschiedenen Elementen aus A verschiedene Elemente aus B zugeordnet werden.

R ist surjektiv, weil es zu jedem y∈B ein x∈A gibt mit (x,y) ∈ R

R ist injektiv und surjektiv ⇔  R ist bijektiv.

Dann schau jetzt mal selbst.

Gruß Wolfgang

Comments

Ich wollte fragen, wie es bei Aufgabenteil e ist?

Ist es eine Funktion die nicht injektiv ist sondern nur surjektiv?

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e) A = B = {0; 1; 2; 3; 4} und R = {(i; j) ∈ A x B | j = i • j }.

R = { (0,0) , (1,1) , (1,3) , (1.4) } 

ist keine Funktion A → B

weil nicht jedem Element x∈A [ z.B. x=2]

           mindestens ein y∈B zugeordnet wird.

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Ist die Formel nicht y = x * y ? Also unser x ist doch gleich i und unser y = j?

Was ist mit x = 2 und y = 0? Also ich dachte das man das folgende raus bekommen würde...

R = { (0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (4,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1.4) } 

Tut mir echt Leid für die vielen Fragen hier, möchte es nur gerne verstehen =)

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Du hast recht, hatte mich da vertan.

R ist eine Funktion A → B

nicht injektiv, aber surjektiv

(Ist doch sehr erfreulich, warum tut es dir leid? :-))

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Okay =)

Dann ist doch aber auch Aufgabenteil b eine Funktion A → B,

die nicht injektiv ist aber surjektiv?

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der Prinzip von f ist dann dieselbe wie in e, oder? es würde dann auch eine surjektive Funktion sein? R = { (1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (2,2), (2,3), (2,4)} wenn ich es richtig verstehe

und d ist dann injektiv?

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Bei (i,j) = (2,2), (2,3), (2,4) gilt doch nicht i = i * j  z.B  2 ≠ 2 * 4

R = { (1,1), (2,1), (3,1), (4,1) }

R ist eine Funktion A → B , die weder injektiv noch surjektiv ist