Welches gemeinsame Merkmal haben alle Startzahlen der hier geeigneten Folgen von 2n+1 natürlichen Zahlen?

Question

n+1 aufeinanderfolgende natürliche Zahlen haben die gleiche Summe, wie die nächsten n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen. Jede auf diese Weise gefundene Folge von 2n+1 Zahlen hat eine kleinste. Welches gemeinsame Merkmal haben alle Startzahlen der hier geeigneten Folgen von 2n+1 natürlichen Zahlen? (Behauptung und Beweis).

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Answer 1

Nennen wir die erste Zahl (also die Startzahl) z, dann gehören zur ersten Summe noch die Folgezahlen z+1 bis z+n.

Zur zweiten Summen gehören die n Zahlen (z+1+n), (z+2+n)... bis (z+n+n).

Zu jedem der n Summanden, die nach der Startzahl in der ersten Summe vorkommen, gibt es in der zweiten Summe einen Summanden, der genau um n größer ist. Also wäre ohne die Startzahl die erste Summe um genau n mal n kleiner als die zweite Summe.

Die Gleichheit kann nur gelten, wenn die Startzahl diese Lücke von n² ausgleicht. Der erste Summand heißt also n².

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Ich frage die Schüler*innen oft, ob sie wenig denken und mehr rechnen wollen, oder ob sie lieber etwas mehr denken und dann weniger rechnen. Mir scheint, dass ich mich mal wieder für das mehr Rechnen entschieden habe.

Gratulation!

Answer 2

$$a_1(n)=n^2$$$$a_1(1)=1$$$$ \sum\limits_{k=1}^{1+1}{k} =3= \sum\limits_{k=3}^{1+1+1}{k} $$$$n>1$$$$ \sum\limits_{k=n^2}^{(n+1)^2-1}{k} =\frac{4n^3+6n^2+2n}{2}=$$$$2*\frac{2n^3+3n^2+n}{2}=2*\sum\limits_{k=n^2}^{n^2+n}{k} $$$$ \sum\limits_{k=n^2}^{n^2+n}{k} = \sum\limits_{k=n^2+n+1}^{(n+1)^2-1}{k} $$

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Leider gefällt mir die Dokumentation von Gedankengängen in der von dir gewählten Form nicht wirklich.

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Was gibt es denn auszusetzen habe ich einen Fehler gemacht? Stimmt die Aussage nicht? Stimmt der Beweis nicht? Hast du bei den Summen etwas anderes raus. Ich kann keinen Fehler finden. Frage nach, wenn du etwas nicht verstehst, ich erkläre es dir gerne.

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Ich habe es in der von dir geforderten Reihenfolge geschrieben.

1. Die Behauptung

2. Den Beweis

Was soll ich noch machen?

Ich kann keinen Fehler finden.

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1. Die Behauptung stimmt, auch abakus hat n^2 für die Startzahl raus bekommen.

2.Die Summe der ersten n+1 Zahlen ist gleich der Summe der n folgenden Zahlen. Das ist doch die Forderung.

Was verstehst du an dem Beweis nicht ?