Welches Polynom von n beschreibt alle Startzahlen der hier geeigneten Folgen von 2n+1 Quadratzahlen?

Question

n+1 aufeinanderfolgende Quadratzahlen haben die gleiche Summe, wie die nächsten n aufeinanderfolgenden Quadratzahlen. Jede auf diese Weise gefundene Folge von 2n+1 Zahlen hat eine kleinste. Welches Polynom von n beschreibt alle Startzahlen der hier geeigneten Folgen von 2n+1 Quadratzahlen? (Behauptung und Beweis).

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Noch ungetestete Behauptung.

n^2 ± n·(n + 1)

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$$2n^2+n $$

habe ich auch raus, dass kann leicht über den kleinen Gauß bewiesen werden. Doch den Beweis mag Roland nicht.

Das hat er mir schon bei seiner letzten Frage geschrieben.

Answer 1

$$a_1(n)=((2n+1)^2+1)/2-(n+1)$$

$$=2n^2+n$$

das kann man auch über den kleinen Gauß zeigen, doch warum soll ich mir die Mühe machen, das gefällt ja nicht.

Das ist die Basis, um das erste Glied zu bekommen, muss noch das Quadrat gebildet werden.

Beispiel

$$5^2=4^2+3^2$$

$$13^2+14^2=12^2+11^2+10^2$$

$$25^2+26^2+27^2=24^2+23^2+22^2+21^2$$

usw

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Answer 2

Summe der ersten z Quadratzahlen: z(z+1)(2z+1)/6

Summe der ersten z+n Quadratzahlen: (z+n)(z+n+1)(2z+2n+1)/6

Summe der ersten z+2n Quadratzahlen: (z+2n)(z+2n+1)(2z+4n+1)/6

Forderung der Aufgabe:

(z+2n)(z+2n+1)(2z+4n+1)/6 - (z+n)(z+n+1)(2z+2n+1)/6
                                          = (z+n)(z+n+1)(2z+2n+1)/6 - z(z+1)(2z+1)/6 + z²

Umsortieren und beide Seiten mal 6:

(z+2n)(z+2n+1)(2z+4n+1) - 6z² =  2(z+n)(z+n+1)(2z+2n+1) - z(z+1)(2z+1)

(z^2+4nz+4n^2+z+2n)(2z+4n+1) - 6z^2 = (2z^2+4nz+2n^2+2z+2n)(2z+2n+1) -2z^3-3z^2 -z

Wer Lust hat, kann weiter ausmultiplizieren...