Aufgabe:
Geben Sie für $$n\in \mathbb{N}$$ alle Lösungen der Gleichung $$z^{n}=1 \text{ in } \mathbb{C}$$ in der Polardarstellung an.
Lösung: sind die n verschiedenen n-ten Wurzeln aus der 1
$$|z|^n=|z^n|=1 \text{ dann auch }|z|=1$$
z liegt auf dem Einheitskreis und $$z=cos(φ)+isin(φ)$$
Regel de Moivre: $$z^{n}=cos(nφ)+isin(nφ)=1$$
Problem/Ansatz:
Leider verstehe ich ab hier die Umformung bis hin zum Ergebnis nicht mehr, betrachtet man sozusagen nur noch die Winkel aus der zuvor genannten Potenz und wenn ja woher weiß man das nφ=2πk?
$$\Longrightarrow nφ=2πk, k\in \mathbb{Z}$$
$$\Longrightarrow φ=\frac{2πk}{n},k\in \mathbb{Z}$$
Ergebnis:
zk = cos (2πk/n)+isin(2πk/n) , k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}
Weiß da jemand weiter?
Danke
