Seien für n > 0 die Zahlen \( F_n \) die Fibonacci-Zahlen so definiert:
Die Fibonacci-Zahlen \( F_n \) sind rekursiv definiert durch:
1.) Man setzt: \( F_0 \):= 1 und \( F_1 \):= 1
2.) Für n ∈ ℕ, n > 1setzt man: \( F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \)
a) Berechnen Sie für n ∈ {3,4,5,6} den ggT(\( F_n \) , \( F_{n+1} \)) und stellen Sie diesen als \(a F_n + b F_{n+1} \) dar, d.h. finden Sie Zahlen a,b, so dass ggT\(\left( F_n ,\, F_{n+1}\right) = a F_n + bF_{n+1} \) gilt.
b) Stellen Sie für allgemeines n >= 3 eine Vermutung über a und b auf und beweisen Sie diese.
