Aloha laurax ;)
Hier hilft uns das totale Differential weiter$$dF=\frac{\partial F}{\partial x}\,dx+\frac{\partial F}{\partial y}\,dy$$das wir für die Funktion$$F(x,y)=e^{0,05x-0,05y-0,25xy}>0$$mit Hilfe der Kettenregel zunächst berechnen$$dF=e^{0,05x-0,05y-0,25xy}(0,05-0,25y)\,dx+e^{0,05x-0,05y-0,25xy}(-0,05-0,25x)\,dy$$$$\phantom{dF}=e^{0,05x-0,05y-0,25xy}\left((0,05-0,25y)\,dx-(0,05+0,25x)\,dy\right)$$$$\phantom{dF}=F(x,y)\cdot\left((0,05-0,25y)\,dx-(0,05+0,25x)\,dy\right)$$
Das Niveau der Funktion \(F\) soll beibehalten werden, d.h. \(dF=0\), und wir sollen am Punkt \((2,6|1,5)\) die Änderungsrate der Varibale \(x\) in Abhängigkeit von \(dy\) bestimmen:
$$\left.dF=F(x,y)\cdot\left((0,05-0,25y)\,dx-(0,05+0,25x)\,dy\right)\quad\right|dF=0$$$$\left.0=F(x,y)\cdot\left((0,05-0,25y)\,dx-(0,05+0,25x)\,dy\right)\quad\right|\,:F(x,y)$$$$\left.0=(0,05-0,25y)\,dx-(0,05+0,25x)\,dy\quad\right|\,+(0,05+0,25x)\,dy$$$$\left.(0,05+0,25x)\,dy=(0,05-0,25y)\,dx\quad\right|\,:\,(0,05-0,25y)$$$$\left.dx=\frac{0,05+0,25x}{0,05-0,25y}\,dy=\frac{1+5x}{1-5y}\,dy\quad\right|\,x=2,6\;;\;y=1,5$$$$dx=\frac{1+5\cdot2,6}{1-5\cdot1,5}\,dy=\frac{14}{-6,5}=-\frac{28}{13}\,dy$$Die Änderung der ersten Komponente in Abhängigkeit der zweiten beträgt also:
$$dx=-\frac{28}{13}\,dy$$
Zur Bestimmung der Änderungsrate, müsste man jetzt eigentlich noch durch den Wert \(x=2,6\) dividieren:$$\frac{dx}{x}=\frac{dx}{2,6}=-\frac{28}{2,6\cdot13}\,dy=-\frac{140}{169}\,dy$$ Da bin ich mir aber nicht sicher, ob das wirklich so gemeint ist. Vielleicht hast du dazu klärende Informationen in deinen Unterlagen. Vermutlich ist das ohne die Division durch \(x\) gemeint, denn dann kommt dein Ergebnis raus \(\left(-\frac{28}{13}=-2,15...\right)\).
