Aufgabe:
Zeigen Sie dass (ℝ>0, ⊕ ) zusammen mit der Skalarmultiplikation einen ℝ-Vektorraum bilden.
Die Vektoraddition(⊕) wurde definiert durch: ℝ>0 × ℝ>0 ↦ ℝ>0, (v,w) ↦ vw.
Die Skalarmultiplikation wurde definiert durch: ℝ>0 × ℝ>0 ↦ ℝ>0, (λ,v) ↦ v^λ.
Problem/Ansatz:
Wir haben einen Vektorraum so definiert, das es sich bei (V,+) also hier (ℝ>0, ⊕) um eine abelsche Gruppe handeln muss und noch weiteren Bedingungen bzgl der Skalarmultiplikation erfuellt sein muessen. Doch bei mir hackt es momentan daran, nachzuweisen das (ℝ>0,⊕) eine abelsche Gruppe ist.
Mein Ansatz ist bislang folgender:
Assoziativitaet: Seien x,y,z aus ℝ>0 beliebig, dann gilt:
x⊕(y⊕z) = x ⊕ (yz) = xyz = xy ⊕ y = (x⊕y) ⊕z.
Neutrales Element:
Da für alle x aus ℝ>0 gilt: x ⊕ 1 = x * 1 = 1 * x = 1 ⊕ x = x. Ist das Einselement, hier das neutrale Element.
inverses Element: Sei x aus ℝ>0 beliebig und x' = 1/x, dann gilt:
x ⊕ x' = x * 1/x = x/x = 1/x * x = x' ⊕ x = 1. Also hat auch jedes Element ein inverses Element.
Nur bei der Kommutativität hänge ich schon seit stunden dran. Ich muss ja zeigen das: x ⊕ y = y ⊕ x.
Und ich dachte mir das ich ja xy mit y'yxy darstellen kann. Jetzt müsste ich also das y' von ganz vorne nach hinten bekommen, nur leider weiss ich nicht, wie ich das bewerkstelligen soll. Danke wie immer, schon mal im voraus.
