Prüfen Sie, ob die folgenden Mengen zusammen mit der Addition und Skalaren Multiplikation einen Vektorraum bilden

Question

Aufgabe:

Prüfen Sie, ob die folgenden Mengen zusammen mit der üblichen Addition und Skalaren Multiplikation einen Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen bilden:

Problem/Ansatz:

Wie geht man hier vor?

Text erkannt:

(a) Menge A:
\( A=\left\{\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ x+y \\ 0 \end{array}\right) \mid x, y \in \mathbb{R}\right\} \)

Answer 1

Du musst hier nur die Axiome überprüfen. Wähle also bspw. \(u,v\in A\) und zeige, dass auch \(u+v\) in \(A\) liegt.

Answer 2

r·[a1, a2, a1 + a2, 0] + s·[b1, b2, b1 + b2, 0]

= [(r·a1 + s·b1), (r·a2 + s·b2), (r·a1 + s·b1) + (r·a2  + s·b2), 0]

Damit wäre jede Linearkombination zweier Vektoren aus der Menge A wieder in der Menge A enthalten.