Welche der folgenden Mengen sind mit der jeweils definierten Addition une skalaren Multiplikation ein Vektorraum?

Question

kann jmd. mir paar tipps zu dieser aufgabe geben? danke im voraus.

MfG

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Welche Mengen sind mit der definierten Addition und skalaren Multiplikation ein Vektorraum?

Stichworte: vektorraum,addition,multiplikation,vektoren

Hallo. Ich brauche Hilfe mit meiner Aufgabe. Deutsch ist eine Fremdsprache für mich, so habe ich Probleme mit dem Verstehen des Skripts und ich kann diese Aufgabe nicht lösen. 

Vielen Dank

Welche der folgenden Mengen sind zusammen mit der jeweils definierten Addition und skalaren Multiplikation ein Vektorraum uber dem jeweiligen Körper? Begrunden Sie Ihre Antworten.
(a) (V₁, +, •) als ℝ-Vektorraum mit (V₁, +) = (ℚ, +) und der Multiplikation, die durch die
Einschrankung der gewöhnlichen Multiplikation der reellen Zahlen auf ℝ × ℚ entsteht.

(b) (V₂,+, ·) als ℚ-Vektorraum mit (V₂, +) = (ℝ, +) und der Multiplikation, die durch die
Einschränkung der gewöhnlichen Multiplikation der reellen Zahlen auf ℚ × ℝ entsteht.

(c) (V₃,+, ·) als F₅-Vektorraum mit V₃ = { (0, 0, 0), (1, 2, 0), (2, 4, 0), (3, 1, 0), (4, 3, 0) } ⊆ F³₅ und der komponentenweisen Addition +. Die skalare Multiplikation · ist fur m, x, y, z∈ F₅ durch m · (x, y, z) = (mx, my,7 mz) definiert.

---

(c) sicher, dass da eine 7 in der Definition stehen soll? "m · (x, y, z) = (mx, my,7 mz) definiert." Warum fehlt der Abstand nach dem Komma? 

Ob Deutsch eine Fremdsprache ist oder nicht, du musst die Definitionen der Begriffe in den von dir besuchten Veranstaltungen verstehen und auswendig lernen. Sonst kannst du nicht damit arbeiten. 

Wie prüft man denn auf "Vektorraum"? Was sind die definierenden Eigenschaften?

---

Ihr hattet sicher Kriterien, die erfüllt sein müssen, damit etwas ein Vektorraum ist. Du musst einfach testen, ob die alle erfüllt sind. Bei der a) lohnt es sich z.B einen Blick auf den Wertebereich der skalaren Multiplikation zu werfen.

Answer 1

Hallo Justin, zu (a):  Hier sind die ersten zwei Vektorraum-Kriterien:
(V₁, +) ist eine kommutative Gruppe.  Das stimmt, denn (Q, +) ist eine kommutative Gruppe.  Bei Bedarf bitte nachprüfen.
Für die Verknüpfung a * v gilt:  a ∈ R, v ∈ Q, a * v ∈ V₁ = Q.  Das funktioniert nicht, denn z. B. Wurzel(2) * 0,5 ∉ Q.
Also ist V1 kein Vektorraum.