Versuche zuerst einmal, dir den Vektorraum vorzustellen. Jeder Grad stellt eine Dimension dar, da wir von Polynomen vom Grad <5 sprechen, haben wir also vier Dimensionen. Insofern lässt sich unser Vektorraum folgendermaßen darstellen.
$$V=\sum_{i=0}^4 p_i \cdot x^{i},\quad p_i \in K$$
Damit dies ein Vektorraum ist, muss gelten:
V zusammen mit der Addition bildet einen abelschen Körper, dies ist jedoch klar, da wir nur von reellen Zahlen sprechen und die Gruppeneigenschaften für alle Polynomen gelten.
V erfüllt die Regeln der (skalaren) Multiplikation: Hierbei gilt:
$$(\lambda_1 + \lambda_2) \cdot V = \lambda_1\cdot V + \lambda_2 \cdot V$$ (klar, da wir Polynomen vervielfachen können)
$$\lambda\cdot (V_1 + V_2) = \lambda \cdot V_1 + \lambda\cdot V_2$$ (klar, weil man zu Polynomen das Vielfache eines anderes Polynoms addieren kann)
$$\lambda_1\cdot(\lambda_2\cdot V) = (\lambda_1 \lambda_2)\cdot V$$ (klar, weil ein abelscher Körper vorliegt, in dem das Assoziativgesetz gilt)
$$1\cdot V = V$$ (klar, dies lässt Sicht durch den Körper K erklären, wir rechnen ja nicht in Z_n oder Q)
Die Basis ist ganz einfach darzustellen, stelle dir jede Potenz als Dimension vor: Dann gilt:
$$ v_1 = \begin{pmatrix}a\cdot x\\b\cdot x^2\\c\cdot x^3\\d\cdot x^4\end{pmatrix},\quad a,b,c,d \in \mathbb{R}$$
