Welche der Mengen sind abgeschlossen bezüglich der Addition bzw. der Skalaren Multiplikation?

Question

Aufgabe:

Gegeben seien zwei Teilmengen des ℝ² :$$U_1 = \left\{ \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \mid x \cdot y = 0, \quad x,\, y\in\mathbb{R} \right\}\\U_2 = \left\{ \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}  \mid (x + y) \in \mathbb{N}, \quad x,\, y \in\mathbb{R} \right\}$$Welche der Mengen sind abgeschlossen bezüglich der Addition

und welche der Mengen sind abgeschlossen bezüglich der Skalaren Multiplikation?

Problem/Ansatz:

Hallo, ich weiß leider nicht, was man hier machen soll

Answer 1

Du musst prüfen, ob alle Elemente, die durch die Verknüpfung entstehen, wieder Elemente der Menge sind.

ich gehe mal davon aus, deine Mengen lauten

U₁= { \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) | x · y = 0, x, y ∈ ℝ }

U₂ = { \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) | (x + y) ∈ ℕ, x, y ∈ ℝ }?

Ist leider in der Aufgabe nicht ganz formatiert worden.

Zu U₁:

nicht abgeschlossen bezüglich Addition.

\( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) 1 · 0 = 0 und \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) 0 · 1 = 0 sind beide Elemente der Menge, aber \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) 1 · 1 = 1, also nicht Element der Menge

abgeschlossen bezüglich skalarer Multiplikation.

\( \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} \) a · 0 = 0 und \( \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} \) 0 · b = 0 mit a,b ∈ ℝ.

λ · \( \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} \) =  \( \begin{pmatrix} λa \\ 0 \end{pmatrix} \) λa · 0 = 0 und λ · \( \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0 \\ λb \end{pmatrix} \) 0 · λb = 0 mit λ ∈ ℝ.

Gleiches Prinzip bei U₂ :)